实变函数与泛函分析sj3ddoc.doc

试卷三（参考答案及评分标准） 一、一 单项选择题（3分×5=15分） 1、设，则（ B ） (A) （B） (C) （D） 2、设是上有理点全体，则下列各式不成立的是（ D ） （A） (B) (C) =[0，1] (D) 3、下列说法不正确的是（ C ） (A) 若，则 （B） 有限个或可数个零测度集之和集仍 为零测度集 (C) 可测集的任何子集都可测 （D）凡开集、闭集皆可测 4、设是一列可测集，，且，则有（ A ） （A） (B) （C）f(x)是上绝对连续函数，则下面不成立的是（ B ） (A) 在上的一致连续函数 (B) 在上处处可导 （C）在上L可积 (D) 是有界变差函数 二. 二 填空题(3分×5=15分) 1、设集合，则__________ 2、设为Cantor集，则 ，_0____，=________。 3、设是中点集，如果对任一点集都有__________，则称是可测的 4、叶果洛夫定理：设是上一列收敛于一个有限的函数 的可测函数，则对任意存在子集，使在上一致收敛且。 5、设在上可测，则在上可积的 充要 条件是||在上可积.（填“充分”，“必要”，“充要”） 三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5分×4=20分) 1、任意多个开集之交集仍为开集。 解：不成立 …………2分 反例：设Gn=( ),n=1,2,(, 每个Gn为开集 但 不是开集. …………5分 2、若，则一定是可数集. 解：不成立 ………………2分 反例:设是集，则， 但c ， 故其为不可数 集 …………….5分 3、收敛的函数列必依测度收敛。 解：不成立 ………………………2分 例如：取作函数列： 显然当。但当时， 且这说明不测度收敛到1 …………5分 4、连续函数一定是有界变差函数。 解：不成立 ……………… 2分 例如：显然是的连续函数。 如果对取分划，则容易证明 ，从而得到 …………………5分 四、解答题（8分×2=16分）. 1、（8分）设 ，则在上是否可积，是否可积，若可积，求出积分值。 解：在上不是可积的，因为仅在处连续，即不连续点为正测度集 ……………………………………..3分 因为是有界可测函数，在上是可积的 …6分 因为与相等，进一步， …8分 2、求极限 解：记 则在[0,1]上连续,因而在[0,1]上（R）可积和（L）可积. ……………..2分 又 ………………4分 ……….6分 且在上非负可积,故由Lebesgue控制收敛定理得 ……………、….8分 五、证明题（6分×4+10=34分）. 1、（6分）试证 证明：记中有理数全体,令 显然 ……………………………5分 所以 …………………………………6分 2、（6分）设f(x)是上的实值连续函数，则对任意常数 c， 是一开集. 证明: …………….1分 因f（x）连续，故. ………….4分 即.所以是E的内点. 由的任意性,E的每一个点都是内点,从而E为开集. ……………6分 3、（6分）设是可测集的非负可积函数，是的可测函数，且，则也是上的可积函数。 证明：， …………………1分 是可测集的非负可积函数 是上的可积函数. ………………….. 4分 同理，也是上的可积函数. 是上的可积函数。 ……………