实验6 二次型及其标准形.doc

实验6 二次型及其标准形 实验目的 学习利用Matlab命令求二次型的秩，化二次型为标准形，判断二次型的正定性. 二、实验原理 （一）预备知识? 线性代数中的知识．判别二次型为正定二次型的充要条件是，它的矩阵A的特征值全为正，或A的各阶主子式为正。 ? 本实验所用Matlab命令提示：d eig A 输出方阵 A 的全部特征值组成的列向量d； 3. 命令[P,D] eig A 输出的是对角线上的元素A的特征值对角矩阵（）在Matlab中，我们运用函数[,D] eig A 求出二次型的矩阵A的特征值和特征向量矩阵P，所求的矩阵即为系数矩阵A的标准形，矩阵P即为二次型的变换矩阵例把二次型化为标准形. clear A [2 0 0;0 3 2;0 2 3]; syms y1 y2 y3 y [y1;y2;y3]; [P,D] eig A x P*y 输出为: P 0??? 1.0000 0 -0.7071 0 0.7071 0.7071 0 0.7071 D 1.0000 0 0 0??? 2.0000 0 0 0 5.0000 x [ y2 ] [ -1/2*2^ 1/2 *y1+1/2*2^ 1/2 *y3] [? 1/2*2^ 1/2 *y1+1/2*2^ 1/2 *y3] f [y1 y2 y3]*D*y f y1^2+2*y2^2+5*y3^2. 由输出结果可知,线性变换x py化二次型为标准型. 判别二次型为正定二次型的充要条件是，它的矩阵A的特征值全为正，或A的各阶主子式为正判断二次型的正定性clear A [2 2 1;2 8 0;1 0 -4]; D eig A 输出为： D -4.1712 1.5589 8.6123 由输出结果可知二次型的矩阵的特征值为-4.1712，1.5589，8.6123，不全为正，所以二次型不是正定的． 解2 二次型的矩阵为,所以输入 clear A2 [2,2;2,8]; ?A3 [2,2,1;2,8,0;1,0,-4]; D2 det A2 D3 det A3 输出为： D2 12 D3 -56 输出结果显示：二次型的3阶主子式为-56 0,所以二次型不正定. 三、实验练习 1．求二次型的秩. 2.化二次型为标准形,并求出所作的非退化的线性变换. 3.用正交变换化二次型为标准形. 4.判别二次型是否正定?