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斐波那契数列浅探一二 上海市东辉职业技术学校 罗烨 摘要：本文详细介绍了用特征方程法推导出斐波那契数列通项公式的过程，并将特征方程法运用于递推数列求通项，以及利用斐波那契数列通项解决一些日常数学问题。 关键字：斐波那契数列 通项公式 特征方程法 一、斐波那契数列及其通项公式 中世纪著名的意大利数学家莱昂纳多?斐波那契（Leonardo Fibonacci）在其拉丁文代表著作《算经》为n个月后兔子的对数（n 0,1,2…），显然 （1） 如何求出满足此递推式的数列的通项公式呢？ 假设满足递推式的 代入递推式得： 即 （2） 解得 则的通项公式为 （3） 由于，则 从而求出 因此斐波那契数列的通项公式为 （4） 以上求解方法在解决类似（1）的二阶线性递推数列的通项公式时不失为一种方便且行之有效的方法，称为特征方程法，也叫做不动点法。我们把关于的方程（2）叫做特征方程，它的两个根、叫做特征根。 二、特征方程法求递推数列通项式 定理：已知数列的项满足，则称方程为数列的特征方程。若是特征方程的两个根，则 当时，数列的通项为，A、B由初始值决定； 当时，数列的通项为，、由初始值决定； 设数列满足，求数列的通项公式。 解：数学相应的特征方程为，则特征根为 设 由得 故. 设p、q为实数，、是方程的两个实根，数列满足，求数列的通项公式 解：数列相应的特征方程为，特征根为 当时，可设 由 得 当时，可设 由 得 三、生活中的斐波那契数列 数学世界奥妙无穷，斐波那契数列的递推关系：除了从兔子繁殖问题中可以得到之外，日常生活中我们也常常碰到。 上楼梯时，若每步只能跨一级或两级阶梯，则要登上第n级的方式有多少种？ 解：设登上第n级有种方法，则可分为两类：一类是最后一步跨一级，有种走法；另一类是最后一步跨两级，有种走法。 故 例4、 街边小店常常会传来“清仓减价，样样十元”的叫卖声，这个声音当然不是人直接叫喊的，而是用录音机播放的，原理是用两台录音机，当一台播音时，另一台同时开始录音，如此反复进行。若吆喝一遍叫卖声，连同中间停顿共需10秒，则录制一盒时间长为1小时的磁带需操作几步？ 解：设第n步中，总录入的声音遍数记为，，，， 1小时的磁带中声音遍数为遍 斐波那契数列中，，而，故操作14遍即可。 一枚均匀的硬币掷n次，问不连续出现正面的可能情形有多少种设一枚均匀的硬币掷次，不连续出现正面的可能情形有种可分为两类：一类是第n次投掷出反面，且前次种可能；第二类是第n次投掷出正面，第n-1次投掷出反面，且前n-2次种可能。 故 且（正、反），（正-反、反-正、反-反） 由前述可得： 参考文献 陈昌平.高中数学选修读本（下）.上海科技教育出版社