断裂现象中之图案形机制研究.doc

斷裂現象中之統計物理 梁鈞泰 中央研究院物理研究所 email:leungkt@phys.sinica.edu.tw 一、前言 在自然界中，材料的斷裂是一個十分普遍的現象。由於經常造成經濟上和生命的損失，故長久以來深受各界如材料工程、地質學家，以致建築師等的重視。另一方面，由於斷裂本身是一個複雜、非線性、非平衡的動態過程，有豐富的物理規律蘊藏其中，所以近幾年吸引了不少從事非線性及統計物理的研究工作者的關注[1]。大家在日常生活中總有在周遭的環境中(如路面、牆壁、人造的器皿等)看見各式各樣的裂痕[2]，也許曾對其形態、結構、大小的多樣化產生好奇。我們正是基於這種好奇心，始於幾年前以非線性物理的觀點，結合統計物理的方法，分別以解析法、數值模擬及簡單的實驗，針對材料的裂痕圖案之形成機制作了一系列的研究。本文將以其中的物理為焦點，簡略地介紹若干有關斷裂現象中的幾個問題。 二、裂隙的不隱定性 裂隙(crack)的延伸(propagation)促使物質斷裂(fracture)。裂隙的傳播受其鄰近的應力場(stress field)支配，但應力場同時又被裂隙的存在所影響，因此兩者總是維持著某種互為因果的關係。我們考慮一塊中間被挖了一個橢圓形空洞，由均勻材料組成的薄板。若在板塊的上下沿外加拉伸應力(tensile stress) σ，則可以証明應力的最大值將出現在橢圓長軸方向的邊沿，其值為σmax=σ(1+2√(a/ρ))[3]，其中a是長軸的長度，ρ是該邊沿的曲率半徑。因此假使空洞的形狀變得細長，正如一般裂隙的形狀時(見圖一)，a/ρ變得很大，σmax即遠大於遠方的σ。倘若σmax超越材料的強度(strength)，該裂隙將延伸而最終造成板塊的斷裂。由此可見，既長且細的裂隙最「危險」。Griffith遠在1920年代就發現並推論當裂隙超過一特徵長度時即變得不隱定[4]。這是因為裂隙的延伸一方面以正比於a的方式損耗能量(S)，另一方面以正比於a2的方式獲取材料中的彈性勢能(U)，所以a小時，能量損耗較重要，使得裂隙隱定而不增長﹔但當a超過臨界長度ac時則獲取的能量大於損耗，裂隙變得不隱定(見圖二)。其中ac~ Eδ/σ2 (δ是單位裂隙面積的能量損耗，即所謂「斷裂能」(fracture energy)﹔E是楊氏模量)。  圖一、裂隙對受拉力σ作用的薄板上應力分佈的影響。 圖二、與裂隙延伸相關的能量平衡﹕S為裂隙表面能，U為彈性勢能，a是裂隙長度，ac是a的臨界值。 由於這種不隱定性，在沒有其他損耗下，勢能轉為動能，使裂隙加速達到速度v。但裂隙不可能無限制地加速，因為波動傳播的速度u是v的上限。人們經過很多年的努力，在一般相信裂隙的延伸應遵守連續介質力學的前題下，對最簡單的情況，即對均勻、易脆(brittle)的材料獲得v的理論預測值，大致上可簡化成v/u=1-ac/a。這結果看似簡單，但實驗上要驗証卻十分困難。困難在於當裂隙加速到一定程度時，線性延伸本身也變得不隱，新的延伸模式相繼取而代之(如振蕩式的、分枝式的)，使得v難以定義和測量。十多年來的實驗工作總是測得小於u的v值(如30～60%不等)，而這兩者持續的差異曾令人懷疑連續介質力學應用在裂隙動態過程中的正確性[5]。這個困境直到近年才有較明確的實驗証據顯視理論是正確的[6]。 三、龜裂的圖型形成問題 以上談的是當裂隙在沒有外力妨礙下的動態行為，適用於懸空(suspended)的樣品。但在自然界中，產生裂隙的材料常與其他部份相連，例如具多層的複合結構，或與襯底(substrate)有摩擦力的耦合，而大部份的龜裂現象即屬於此(見圖三)。因外力(如摩擦)在裂隙前進時會損耗能量，以致裂隙的延伸速度v常遠小於u﹔這時斷裂模式被稱為「靜準斷裂」(quasistatic fracture)。因為龜裂現象牽涉眾多裂隙間錯綜複雜的相互作用，不像上述單一裂隙的動態過程單純，所以難以嚴謹的理論來描述。雖然有一些材料科學家研究這類題目，其焦點、動機和方法都較偏向實用與現象的描述(phenomenological)[7]。但近年開始也有一些物理學家以非線性動力學的觀點，結合統計物理的方法，從事靜準斷裂現象的研究[1,8]。因為問題本質的相似，這類研究可歸類為「圖型形成」(pattern formation)研究的一種。廣義來說，圖型形成研究的目的在於尋求在那些外在條件下呈現甚麼樣的型態與結構，並瞭解這些不同型態與結構間的相對隱定性及相變性質。對靜準斷裂問題(如龜裂現象)而言，研究對象包括﹕ (a) 裂痕網絡的形成機制，例如究竟是成核集結的(nucleation)或是延伸擴張的﹔ 裂隙及碎片的型態、大小及其分佈函數; 外在條件和參數(諸如應力的強度、雜質、摩擦力、樣品大小和厚