日常生活中我们常有分东西的经验，例如把一个蛋糕分成几块纸裁成.doc

分 數 概 念 前言： 　　日常生活中我們常有分東西的經驗，例如把一個分成幾或是把一堆糖果平分給數位小朋友……等，在分的過程中，往往會考慮到要如何分？可以分得多少？或是在測量物體的長度時會遭遇到所使用的單位度量並不能剛好量完的情形，諸如此類的問題都跟分數的概念有密切的關係。「分數」的發明最初即是為了因應各種測量上的需要，而「分數」的概念也與我們的生活關係密切，因此「分數」就成了數學教材中極為重要的一員。國內小學數學科教材可以發現，分數概念與小數、百分率、比、除法等概念關係密切，上述概念不但是數學中的重要概念，而且在國小數學教材中亦占有相當的份量。因此，無論是在日常生活中，或者在數學及自然科的教材中，都可以發現分數是很常用的重要概念。然而，們發現一個共通的現象是學生在計算方面的技巧非常熟練，但卻不能理解分數的真正意義。分數的意義會隨其應用的情境不同而有不同的解釋，它的型態多變又與其他數學知識有密切的關聯，使得無論是學童或是身為教學者的成人都容易產生多種的迷思概念。(四分之一)，再重複數個單位分量（例如：三個四分之一公尺）加以合成，而得到被測量的量為四分之三公尺的繩子。 分數一詞來自拉丁文「fangere」，它的意義是「分開」，通常用來敘述一個被分開的全體之各個部分（羅鴻翔譯, 民 1980）。在數學上是以有理數來定義分數，即「p/q，p、q○Z，q≠0」，但在使用上又依情境的不同而有不同的用法及解釋（Corwin, Russel, Tierney, 1990）。 Kieren（1976）認為分數具有下列特性：整數系的擴展；一個具有稠密性、無窮可數的數系；可代表測量的量或數線上的一點，能被用來互相比較並加以運算；具有等值分數特徵；可用來代表比率、乘法的操作。Dickson,Brown, Gibson（1984）提出對分數的五種解釋：整個區域的子區域（或部分－整體）；子集合與全體集合間的比較；位在數線上二個整數間等分好的一點；除法運算的結果；兩組集合或兩個度量的大小比較的結果。另外Behr, Post（1988）解釋分數為： 1.「部分/全部」的概念。 2. 比率：強調兩個數量的關係。 3. 比值：用一個量值來代表兩個數量的關係。 4. 商：兩數相除的結果。 在八十二年版數學課程標準與八十八年版九年一貫課程暫行綱要數學學習領域的分數主題中，包含了簡單分數概念（單位分數的內容物只有一個的真分數）、等分概念、單位量概念、等值分數概念、分數大小比較、分數四則運算、不同的分數表示法及理解分數、小數、整數間的關係等，這裡著重在分數概念的探討，而非分數的運算及呈現方式(例：分數大小比較、分數四則運算、不同的分數表示法及理解分數、小數、整數間的關係)，因此以下就對分數的幾項概念做一一解釋。 簡單分數概念 現行國小的分數教學，是由分東西的經驗帶入，由生活性“一半”的語言，連結對二分之一的概念，再帶入分數符號。研究顯示學童的生活經驗無法與分數符號產生連結。例如：Mack（1990）的研究中，三位六年級學童的分數非正式知識，無法與分數符號及算則產生連結。這些學童在分東西時，能正確的比較東西的大小，但卻無法比較分數符號的大小。National Council of Teachers ofMathematics（NCTM, 1994）的研究顯示，如果沒有從學童的生活經驗出發及在學童本身基礎知識沒有發展完整時，學童是很難建立抽象符號的概念。Mack（1998）更發現五年級的學童雖能解決1/2塊甜餅的1/4是多少的問題，卻無法將此方法運用在分數乘法問題的操作上。 由文獻我們可以了解學童單位分數概念是較先發展的分數概念，而且其發展是有順序的。學童在生活上雖有分東西的經驗，也能藉由分東西的經驗逐步發展處理生活上分數問題的能力，然而對於簡單的分數卻無法從生活經驗中累積，無法將生活中的經驗與簡單的分數符號加以連結。 等分是指將物品細分，而細分的每個部分的皆相等。大部份國小三年級學童在處理分數板的問題時，只注意到分數板分割成幾塊，而沒有注意到分割的每一塊是否相等 conceptof a whole），也叫單位-整體量（unit-whole）概念。當學生在處理「部份/全部」和「子集/集合」的分數問題時，對於單位量的概念有以下三種困難： 1. 忽略給定的單位學生在回答諸如一袋蘋果有四個，其中的一個是幾袋的問題時，會回答一個或是四分之一個。這樣的反應顯示他們對於所給定的單位「袋」和單位分量「個」之間的關係，並不在意。 2. 受分子的控制解題時只考慮到分子的因素。如學生在以十二個組成一堆的中取出其中的六分之五，他們只取其中的五個。3. 受分母的控制只考慮到問題中的分母解題過程深受分母的影響。(如繩子)的長度性質，來討論分的活動與單位分