机率(本文)TKU93B .doc

壹、前言 在九年一貫國民教育階段，數學課中「統計與機率」所佔的比重並不少，希望能以學生生活經驗為主，從學生感興趣的主題出發，培養每位同學應具備的統計素養，了解敘述統計所呈現的數字與圖表的意義，也能運用統計圖表溝通與表達，並了解抽樣、機率的初步概念，最重要的是而能正確的運用各項統計與機率的觀念於實際生活中。統計與機率的觀念在我們日常生活中時常碰到，統計資料調查、圖表等常被引用，當然包括有時會被有意無意的誤用；機率的觀念也隨處可見，從複雜決策選擇，該不該買一張希望無窮的樂透，至簡單的決定今天出門要不要帶雨傘？都是機率的應用。 貳、數學結構 當人類在觀察或預測某一現象時，會產生兩類情形，第一類情形在某些相同條件下，其事件發生（或試驗）的結果可以預測的，其結果隱含因果關係且具有決定性者。然而有些現象，雖然在某些相同的條件下，其事件發生（或試驗）的結果並不能事先加以確定，是為非決定性者。 機率便是一種指標，其用來測量這種非決定性事件可能發生的程度有多大。依據文獻上討論，機率的意義大概可分為四種（Shaughnessy 1992；Konold, 1991；Hawkins Kapapia, 1984）古典機率（或稱理論機率），經驗機率（Empirical probability）（或稱次數機率），主觀或直覺機率（Subjective and Intuitive probability），暨形式機率（Formal probability）。 古典機率是假設在隨機設計的試驗中每一基本事件發生的機會均等（equally likely），數學家稱此為均勻機率分配。經驗機率是指隨機結果的長期行為，數學上，其包含極限和收斂的理論。主觀機率是二十世紀所產生的名稱，其在測量信仰的程度（degree of belief）。它似乎可能依賴貝爾定理（Bayes Theorem）而將主觀機率數學化，意即依賴可獲得的資訊作為機率修正的理論。形式機率是利用數學法則（如公理）來定義機率。形式機率超過小學範圍故在此不加以討論。 雖然Kapadia（1988）宣稱主觀機率優於其它兩者。但是Shaughnessy（1992）強調教機率的重點是將一些觀點模式化（a modeling point of view），在不同的問題形態和不同的工作任務（tasks）能用不同的機率模式去解決。某些率實驗可能以均勻機率空間加以模式化，而某些可能用用經驗機率的觀點較佳。有時候，經驗機率亦能解決主觀機率和古典機率的衝突。正如Kuhn（1962）所言，假如我們遭遇新的挑戰，我們最近的模式證明不適當，那麼一種新的有關思考機率的曲範將必須演化。因此兒童在學習以上的多種模式機率是適機的問題，而不是要不要的問題。 機率的定義機率的意義究竟是什麼？在某些條件下我們稱一事件Ａ發生的機率為P，此處P的涵義為何？重複作一試驗若干次，有些事件會出現較多次，有些事件出現的次數則較少。例如，撲克牌裡的梭哈遊戲，52張牌，每人發5張。則長期觀察後，發現同花比四條出現的相對頻率高。這種事件出現的相對頻率，可以用來解釋機率。機率較大的事件，出現的相對頻率便較高。不過對機率的解釋，並不只限於相對頻率的解釋，主觀的解釋也是一種。也就是視機率為一事件之相信程度。 在數學裡給兩個數字0.3及0.5。不用去問0.3或0.5的含義，而且毫無疑問的0.5 0.3。但在機率裡，如果說有兩個銅板A與B，出現正面的機率各為0.3及0.5，所代表的意義究竟為何？各丟一百次，銅板A是否出現30次？顯然不一定。那銅板B出現正面的次數是否會較銅板A多？顯然也不一定。由0.5 0.3，並無法轉換成出現正面的次數較多。所以如何解釋機率，並非一簡單的問題。對於機率，不能用表面的數學來看它。 機率的定義，大致可分為下列三種： （或稱理論機率）1. 假設在隨機設計的試驗中每一基本事件發生的機會均等（equally likely），數學家稱此為均勻機率分配。 2將機率的概念以相同的可能性來解釋。 3做任何一個隨機試驗，共有Ｎ種互斥且出現可能性相同的結果，其中滿足性質Ａ的有ｎ種，則事件Ａ發生的機率為 Ｐ（Ａ）＝ｎ／Ｎ，其中0≦Ｐ（Ａ）≦1 而事件Ａ發生的機率 ＋ 事件Ａ不發生的機率＝1 。 例如：投擲一顆公正的骰子，因為骰子有六面，所以有6種互斥事件，出現奇數的機率如下： 　　　Ｓ＝｛1，2，3，4，5，6｝（Ｓ為樣本空間） 　　　P（A）＝ 【備註樣本空間：隨機試驗或隨機觀察行動後『所有』可能結果（outcome）之集合。　經驗機率（Empirical probability）（或稱次數機率） 1. 以在多次重覆實驗後，一事件出現的頻率來表示機率，此即統計的定義，或客觀的解釋。 2指隨機結果的長期行為，