玻色－费米原子混合系统的基态研究.doc

簡介玻色－費米原子混合系統的基態 文/王道維 簡介 本文旨在簡述並介紹在玻色－費米原子混合態中一些基態（Ground state）的性質，包括相分離/崩塌，庫柏對的超流態與密度波等，文中附上若干主要的理論公式並說明其物理現象，最後並討論一個在理論計算上的實例。 一、背景介紹 極冷原子系統（systems of ultracold atoms）是近十年來成長最快速的物理學門[1]。它的重要性是在其與許多傳統的物理學門的多方面連結。這些學門包括多體（凝聚態）物理、原子分子光學、精密量測、非線性動力學、量子計算等領域。近幾年來，由於實驗技術的成熟，許多實驗室已能同時製造並冷卻兩種以上的原子（或同一種原子在不同的自旋態）而造成一種新的系統。一般相信這樣的多種原子系統（multicomponent atomic system）可以產生許多新的物理態，因為有更多的參數條件可以在這樣的系統中被調整和被控制。近幾年來頗受注目的一些已有實驗結果的例子包括相分離或崩塌現象（phase separation/collapse）[2]，費米原子形成的玻色分子[3]，與BCS-type的庫柏費米子對（Cooper pair of fermionic atoms）[4]等等。從理論的角度來看，一些相當特別的物理基態也已被提出，包括玻色－費米束縛態[5]，電荷密度波（Charge density wave）[6]，聲子導致的非典型庫柏費米子對[7]，極子液體[8](polaron liquid )等等。本文主要在考慮一個玻色－費米系統在零溫時的基態的可能形式。分別就相分離/崩塌，庫柏費米子對超流與密度波的三種典型基態分別作一介紹。 二、哈密頓量（Hamiltonian）與８７Rb或23Na在 的混合。為簡化起見，我們假設此兩種費米子在所有的物理性質上皆相同（除了量子數不同之外）並假設此系統是均勻（uniform）的分布在空間中。在這些假設之下，此系統的哈密頓量為 (1) 在此fk,s與bk是費米子（在自旋ｓ= + = , s = — = ）與玻色子的場函數算符而與為兩者之單原子動能（與μb為化學能）。Ubb與Ubf為玻色子之間與玻色－費米原子間的交互作用力。Uff為自旋上與自旋下的費米原子間的作用力。（注意，由於費米子的反對稱性，同自旋態的費米子間並無低能量的s-wave散射）。為密度算符（類似的定義亦用在費米子上）。 在一般的低溫實驗與我們所感興趣的情況下，玻色原子可以總是假設已在凝聚態（即大多數的原子沉澱在k＝0的基態）。而相對於此基態的基本激發態則可用Bogoliubove聲子來描述。這種聲子的能量－動量函數是[9] (2) 這裡nb是玻色原子的密度。倘若我們假設聲子的能量是比費米原子的動能大得多（也就是聲子的速度遠大於費米速度），則我們可以把聲子的自由度積分掉而得到如下的一個作用在費米原子間的作用力（圖一） 圖一：費米子間藉由激發玻色子即聲子而產生的等效交互作用費曼圖，實箭頭是費米子，空箭頭是玻色子，虛線是凝聚態，而波浪線代表費米－玻色子間的作用力。 　　　 (3) 在動量空間： 　　　　　　　　 (4) 其中為相關長度。因此在此假設之下（即聲子能量（速度）大於費米能量（速度））我們可以簡化公式（1）而得到如下的一個費米子間的等效哈密頓量： (5) 至於另一種情形，即當聲子的能量（或速度）小於費米能量（速度）時，延滯效應（retardation effect）要被考慮進來。一般而言，這不會產生太大在定性上的改變。故此我們在本文中先行忽略這個效應。 三、相分離與崩塌現象（phase separation and collapse） 當兩種以上的原子混合在同一個空間時，他們之間的交互作用如果太大，太強，就會產生相分離（對排斥力而言）或崩塌（對吸引力而言）的現象。當這個混合系統產生這兩者之一時，這個系統就無法成為穩定的混合系統，也因此不能期待能有多少仔細的研究。因此適當地估計一個混合系統產生這樣不穩定狀態的條件為何對實際上的應用而言有很重要的意義。 一般來說分析一個混合系統（不管是玻色－玻色，玻色－費米或費米－費米）的穩定/不穩定條件不是很困難。若考慮絕對零度的情況，我們先假設這個系統的總能量E能被寫成密度的函數（這個假設可被證明是永遠有效的，卽所謂密度函數理論density function theory。若考慮有限溫度，則須用Helmholtz free energy） (6) 這裡和是第一種和第二種原子的密度函數。因此若此等系統要維持平衡，必須滿足以下的條件： (7) 在此δn1,2代表一個微小的密度起伏且滿足來使系統原子數守恆。而