立体几何之向量析法.doc

高考数学立体几何空间向量解法 一、有关公式 投影公式： 在方向上的投影：OB1==︱︱×COS 二、平面的法向量 1、定义：如果，那么向量叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法 (内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量[或，或]，在平面内任找两个不共线的向量。由，得且，由此得到关于的方程组，解此方程组即可得到。 三、平面法向量的应用 1、求空间角 （1）求线线角：已知两异面直线，， 则异面直线所成的角为： （2）求线面角：如图2-1，设是平面的法向量， AB是平面的一条斜线，，则AB与平面 所成的角为： 图2-1-1: 图2-1-2: (3)求面面角:设向量，分别是平面、的法向量，则二面角的平面角为： （图2-2）; (图2-3) 两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定，在图2-2中，的方向对平面而言向外，的方向对平面而言向内；在图2-3中，的方向对平面而言向内，的方向对平面而言向内。 2、求空间距离 （1）异面直线之间距离: 方法指导：如图2-4,①作直线a、b的方向向量、， 求a、b的法向量，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量； ②在直线a、b上各取一点A、B，作向量； ③求向量在上的射影d，则异面直线a、b间的距离为 ,其中 （2）点到平面的距离: 方法指导：如图2-5,若点B为平面α外一点，点A 为平面α内任一点，平面的法向量为，则点B到 平面α的距离公式为 （3）直线与平面间的距离: 方法指导：如图2-6,直线与平面之间的距离： ，其中。是平面的法向量 （4）平面与平面间的距离: 方法指导：如图2-7,两平行平面之间的距离： ，其中。是平面、的法向量。 3、证明 （1）证明线面垂直：在图2-8中,向是平面的法向量，是直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线（）。 （2）证明线面平行：在图2-9中,向是平面的法向量，是直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直（）。 （3）证明面面垂直：在图2-10中，是平面的法向量，是平面的法向量，证明两平面的法向量垂直（） （4）证明面面平行：在图2-11中, 是平面的法向量，是平面的法向量，证明两平面的法向量共线（）。 四、用空间向量解决立体几何的“三步曲” (1)建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题） 五、高考真题新解 (08年全国卷二)如图，正四棱柱中，,点E在上且. (Ⅰ)证明：平面; (Ⅱ)求二面角的大小. 解：(Ⅰ)以为坐标原点，射线为轴的正半轴， 建立如图所示直角坐标系． 依题设，． ， ． 3分 （Ⅰ）=0，=0 故，． 又， 所以平面． 6分 （Ⅱ）设向量是平面的法向量，则 ，．故，． 第一问已经证明平面，所以可以把作为平面的法向量。 令，则，，． 9分 等于二面角的平面角， ．所以二面角的大小为． 12分 立体几何高考选择填空真题 1、2012年文（8）理4、已知正四棱柱中 ，，，为的中点，则直线与平面的距离为 （A） （B） （C） （D） 【解析】连结交于点，连结，因为是中点，所以,且，所以，即直线 与平面BED的距离等于点C到平面BED的距离，过C做于,则即为所求距离.因为底面边长为2，高为，所以,,,所以利用等积法得，选D. 2、2012年文（12）正方形的边长为，点在边上，点在边上，。动点从出发沿直线向运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第一次碰到时，与正方形的边碰撞的次数为 （A） （B） （C） （D） 【解析】结合已知中的点E,F的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA点时，需要碰撞6次即可. 3、2012年理（12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝.动点P从E出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（ ） （A）16（B）14（C）12(D)10 【解析】结合已知中的点E,F的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以