第12 讲抛线及其标准方程(师) 3.doc

第12讲 抛物线及其标准方程 学习目标 掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形． 学习过程 一、课前准备 复习：函数 的图象是 ，它的顶点坐标是（ ），对称轴是 ． 二、新课导学 ※ 学习探究 探究1：若一个动点到一个定点和一条定直线的距离相等，这个点的运动轨迹是怎么样的呢？ 新知1：抛物线：平面内与一个定点和一条定直线的 距离 的点的轨迹叫做抛物线．点叫做抛物线的 ；直线叫做抛物线的 ． 新知2：抛物线的标准方程 定点到定直线的距离为 （）． 先让学生思考，独立建立直角坐标系，从学生中归纳出以下几种解法， 、 y2＝2px－p2(p＞0) y2＝2px＋p2(p＞0) y2＝2px (p＞0) 选择哪一种方程作为抛物线的标准方程？并说明理由。 将方程y2＝2px (p＞0)叫做抛物线的标准方程，因为此时方程最简洁，顶点是原点。 建立适当的坐标系，得到抛物线的四种标准形式： 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 说明：1．方程形式与图形之间的关系： 2．的几何意义： 试试： 抛物线的焦点坐标是（ ），准线方程是 ； 抛物线的焦点坐标是（ ），准线方程是 ． ※ 典型例题 例1 （1）已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程； 已知抛物线的焦点是，求它的标准方程． 变式：根据下列条件写出抛物线的标准方程： ⑴焦点坐标是(0,4)；⑵准线方程是； ⑶焦点到准线的距离是． 例2： 已知抛物线的标准方程是（1） 。求它的焦点坐标和准线方程． 例已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标. 【分析】根据抛物线的定义,当涉及到抛物线上的点到其焦点距离时,一定要转化到准线的距离.然后利用点到直线的距离可得最小值. 【解析】将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±. ∵＞2，∴点A在抛物线内部． 设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义，知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为，即|PA|＋|PF|的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，即点P的坐标为(2,2)． 变式迁移　已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为(　　) B. C．(1,2) D．(1，－2) 例（2001年全国卷）设抛物线（）的焦点为 F，经过 点 F的直线交抛物线于A、B两点．点 C在抛物线的准线上，且BC∥X 轴．证明直线AC经过原点O． 【分析】证直线 AC 经过原点 O，即证 O、A、C 三点共线，为此只需 证 kOC＝kOA.本题也可结合图形特点，由抛物线的几何性质和平面几何 知识去解决． 【解析】 证明1：因为抛物线（）的焦点为， 所以经过点F的直线AB的方程可设为 ，代人抛物线方程得 ． 若记，，则是该方程的两个根，所以 ． 因为BC∥X轴，且点C在准线上，所以点C的坐标为， 故直线CO的斜率为 即也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O． 证明2：如图，记X轴与抛物线准线L的交点为E， 过A作AD⊥L，D是垂足．则 AD∥FE∥BC． 连结AC，与EF相交于点N，则 根据抛物线的几何性质，|AF|=|AD|，|BF|=|BC| ， 即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O． 这个重要结论． 例6（2011福建）已知直线l：y=x+m，m∈R。 （I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程； （II）若直线l关于x轴对称的直线为，问直线与抛物线C：x2=4y是否相切？说明理由。 （I）解法一：依题意，点P的坐标为（0，m） 因为，所以， 解得m=2，即点P的坐标为（0，2） 从而圆的半径 故所求圆的方程为 解法二：设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为 依题意，所求圆与直线相切于点P（0，m）， 则解得所以所求圆的方程为 （II）因为直线的方程为所以直线的方程为 由, （1）当时，直线与抛物线C相切 （2）当，那时，直线与抛物线C不相切。 综上，当m=1时，直线与抛物线C相切；当时，直线与抛物线C不相切。 本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形