第十讲 新型问解题策略.doc

高三数学思想、方法、策略专题 —新型问题解题策略 一．知识探究： 1．探索型问题 常见的探索性问题，就其命题特点考虑，可分为归纳型、题设开放型、结论开放型、题设和结论均开放型以及解题方法的开放型几类问题； （1）结论开放型探索性问题的特点是给出一定的条件而未给出结论，要求在给定的前提条件下，探索结论的多样性，然后通过推理证明确定结论； （2）题设开放型探索性问题的特点是给出结论，不给出条件或条件残缺，需在给定结论的前提下，探索结论成立的条件，但满足结论成立的条件往往不唯一，答案与已知条件对整个问题而言只要是充分的、相容的、独立的，就视为正确的； （3）全开放型，题设、结论都不确定或不太明确的开放型探索性问题，与此同时解决问题的方法也具有开放型的探索性问题，需要我们进行比较全面深入的探索，才能研究出解决问题的办法来。 解探索性问题应注意三个基本问题:认真审题,确定目标；深刻理解题意;开阔思路,发散思维，运用观察、比较、类比、联想、猜想等带有非逻辑思维成分的合理推理,以便为逻辑思维定向。方向确定后，又需借助逻辑思维,进行严格推理论证,这两种推理的灵活运用,两种思维成分的交织融合,便是处理这类问题的基本思想方法和解题策略。 解决探索性问题，对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面有较高要求，高考题中一般解这类问题有如下方法： （1）直接法：直接从给出的结论入手，寻求成立的充分条件；直接从给出的条件入手，寻求结论；假设结论存在（或不存在），然后经过推理求得符合条件的结果（或导出矛盾）等； （2）观察——猜测——证明 （3）特殊—一般—特殊 其解法是先根据若干个特殊值，得到一般的结论，然后再用特殊值解决问题； （4）联想类比 （5）赋值推断 （6）几何意义法 几何意义法就是利用探索性问题的题设所给的数或式的几何意义去探索结论，由于数学语言的抽象性，有些探索性问题的题设表述不易理解，在解题时若能积极地考虑题设中数或式的几何意义所体现的内在联系，巧妙地转换思维角度，将有利于问题的解决； 2．创新题型 根据现行的教学大纲和国家数学课程标准的要求，结合中学数学教材的内容及我国的经济发展的要求，在实际问题中侧重如下几种模型： （1）社会经济模型 现值、终值的计算及应用（计息、分期付款、贴现等），投资收益，折旧，库存，经济图表的运用； （2）拟合模型 数据的利用、分析与预测（线形回归、曲线拟合）等问题； （3）优化模型科学规划，劳动力利用，工期效益，合理施肥，最值问题，工程网络，物资调用等问题； （4）概率统计模型彩票与模型，市场统计，评估预测，风险决策，抽样估计等问题； （5）几何应用模型工厂选址，展开、折叠，视图，容器设计，空间量的计算，轨迹的应用等； （6）边缘学科模型与理、化、生、地、医等相关方面的问题。 二．命题趋势 从最近几年来高考中探索性问题和创新题型逐年攀升的趋势，可预测探索性问题仍将是高考命题“孜孜以求的目标”。我们认为进行探索性问题的训练，是数学教育走出困境的一个好办法。在第二轮复习的过程中要重视对探索性问题的专题训练,题型要多样化,题目涉及的知识覆盖面尽量广一些，难度由浅入深； 预测高考探索性问题重点出在函数、数列、不等式、立体几何和解析几何，今年高考这些内容还是出探索性问题的热点（特别是解答题）应加强对这些内容的研究；创新题型多出现与经济、生活密切相关的数学问题相关的问题有关，题目新颖，数学知识并不复杂。 三．例题点评 题型1：探索问题之直接法 例1．如图，在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件__________时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的条件即可，不必考虑所有可能的情况） 分析：本题是条件探索型试题，即寻找结论A1C⊥B1D1成立的充分条件，由AA1⊥平面A1C1以及A1C⊥B1D1（平面A1C1的一条斜线A1C与面内的一条直线B1D1互相垂直），容易联想到三垂线定理及其逆定理。因此，欲使A1C⊥B1D1，只需B1D1与CA1在平面A1C1上的射影垂直即可。显然，CA1在平面A1C1上的射影为A1C1，故当B1D1⊥A1C1时，有A1C⊥B1D1，又由于直四棱柱的上、下底面互相平行，从而B1D1∥BD，A1C1∥AC。因此，当BD⊥AC时，有A1C⊥B1D1。由于本题是要探求使A1C⊥B1D1成立的充分条件，故当四边形ABCD为菱形或正方形时，依然有BD⊥AC，从而有A1C⊥B1D1，故可以填：①AC⊥BD或②四边形ABCD为菱形，或③四边形ABCD为正方形中的任一个条件即可。 点评： AC⊥BD是结论A1C⊥B1D1成立的充要条件，而所填的ABCD是正方形或菱形则是使结论A1C⊥B1D1成立的充分而不必要的条件。本例中，满足题意的充分条件不唯一，具有开放