等差数列与等比列的应用.doc

第25课 等差数列与等比数列的应用 ●考试目标 主词填空 1.用归纳法或已知数列{an}的前n项和Sn，写出数列{an}的通项公式，其模式为： an=. 2.灵活运用等差数列、等比数列的诸种性质，解决有关问题，在等差数列中，常见的性质 有①与首末等距离，项之和不变，②均匀抽取一些项，依原次序排出来仍成等差数列. 3.考察等比数列的单调性，往往要分类讨论. 4.利用等差数列、等比数列有关知识，解决实际生活中的有关问题. 5.利用等差数列，等比数列有关知识，解决日常生活中的“分期付款问题”. ●题型示例 点津归纳 【例1】 已知首项为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，数列的前n项和为Tn，且对一切正整数n都有SnTn，求数列{an}的公比q的取值范围. 【解前点津】 由已知条件SnTn，构造一个关于q的不等式，解之即得. 【规范解答】 ∵=a1qn-2故数列是一个首项为，公比为q的等比数列.∵q≠1(否则，由Sn=Tn和与条件矛盾).∴Tn-Sn=-=·a1. 又∵TnSn，a10，∴0，∴q(qn-1)0. 若q0，则对奇数n都有q(qn-1)0,所以q0. 当q0且q≠1时，qn1，q1于是，所求q的取值范围是(0，1). 【解后归纳】 只有当公比q≠1时，才能使用公式Sn=. 【例2】 已知在数列{an}中，a1=-2，且an+1=Sn(n∈N*)，求an，Sn. 【解前点津】 应用公式an+1=Sn+1-Sn. 【规范解答】 ∵an+1=Sn，an+1=Sn+1-Sn，∴Sn+1=2Sn(n∈N*). ∴{Sn}是公比为2，首项为S1=a1=-2的一个等比数列，∴Sn=a1·2n-1=-2n，∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-2n-1，∴an=. 【解后归纳】 对任一数列{an}，可用Sn表示an.即：an=. 【例3】 解答下列有关分期付款的问题. (1)已知贷款总值为a万元，按复利计算，期利率为r，5期还完，每期付款多少万元? (2)已知贷款a万元，按单利计算，期利率为r，5期付完，每期付款多少万元? 【解前点津】 所谓分期付款，就是每期等额付款的一种付款方式，列出每期付款x万元后，剩额多少便一目了然. 【规范解答】 (1)设每期付款x万元，则： 第一期付x万元，到结清时实值为：x(1+r)4； 第二期付x万元，到结清时实值为：x(1+r)3； 第三期付x万元，到结清时实值为：x(1+r)2； 第四期付x万元，到结清时实值为：x(1+r)； 第五期付x万元，到结清时实值为：x. 到结清时共付款的实值为：x(1+r)4+x(1+r)3+x(1+r)2+x(1+r)+x. 此时它应与a万元存入银行五年等值. 即：x(1+r)4+x(1+r)3+x(1+r)2+x(1+r)+x=a(1+r)5 解之：x=. (2)设每期付x万元，则： 第一期付x万元，到结清时实值为：x(1+4r)； 第二期付x万元，到结清时实值为：x(1+3r)； 第三期付x万元，到结清时实值为：x(1+2r)； 第四期付x万元，到结清时实值为：x(1+r)； 第五期付x万元，到结清时实值为x， 到结清时共付款的实值为：x(1+4r)+x(1+3r)+x(1+2r)+x(1+r)+x. 此时它应与a万元存入银行五年等值，即： x［(1+4r)+(1+3r)+(1+2r)+(1+r)+1］=a(1+5r)x=. 【解后归纳】 付款有特定的计算方式，分清单利还是复利，掌握“程序”，是解题的要领. 【例4】 (1)在边长为a的正三角形内作一个内切圆，在内切圆内作一个内接正三角形，然后又在这个正三角形内作一个内切圆，将这种操作进行下去，求所有这些圆的面积之和. (2)在一个棱长为a的正方体内作一个内切球，然后在这个球内作一个内接正方体，然后又在 正方体内作内切球，将这种操作一直进行下去，求所有这些球体体积之和. 【解前点津】 (1)将正三角形的边长与数列{an}对应.(取a1=a)，将圆的半径与数列{Rn}对应.然后求出Rn的通项公式.(2)将正方体的棱长与数列{xn}对应，且x1=a，将内切球的半径与数列{yn}对应，然后求出yn的通项公式. 【规范解答】 (1)设正三角形的边长依次构成数列{an}，且a1=a；内切圆的半径依次构成数列{Rn}.先计算R1. 如图所示，∵R1与是两直角边，∴R1=tan30°=a. 因第n个正三角形的边长是an，所以，第n个内切圆的半径Rn=an，下面计算a2. 如图所示，∵=R1cos30°，∴a2=2·(a)·()=a，∴R2=a2=a，又∵=＝，∴{Rn}是一个首项为a，公比为的一个等比数列.Rn=(a)·（）n-1,从而R