经典力学教程精习题中心力场中的运动.doc

第七章中心力场中的运动 7.1 证明：如果一个质点在指向圆周上一点的有心吸引力作用下描绘圆形轨道，则这个力将按距离的五次方反比规律变化。 [解] 根据比内公式 其中 代入比内公式得 7.2 质量为m的质点受到一静止中心的吸引力，其中r为质点到力心的距离。起始时，且与径向成角，求质点的运动规律。 [解] 选原点在力心O的平面极坐标系。 （因） 由 所以轨道方程为 (对数螺线) 7.3 质量为m的质点在中心力作用下沿半径为a的圆轨道运动，求其速率。 [解] 由比内公式得 又由于,代入得 7.4 试导出下面中心力量值的公式 式中m是质点的质量，r为质点到力心的距离，，p是力心到轨道切线的垂直距离。 [解] 由降阶的比内公式得 两边对r求微商 将代入上式，且由比内公式得 所以，中心力量值为 质点m受中心力的作用，其中为常数，证明m的轨道是一个转动的圆锥曲线 [解] 首先求势能。 令，位能为零，则 由降阶的比内公式得 式中 开方得 积分得 故 式中 令极轴转一角度则 下面我们进行轨道分析。设E0,0e1,则 轨道有界。 设向径转过2角，即从0→2，则k从0→2k2于是r不能回到原来（k=0时）的值，即。当k=0时，r在近日点，而时，r不能回到近日点，所以径向运动周期不等于角运动周期（）。一般说，径向运动一周期时，角位移 △ 轨道一般不闭合，而是逐渐充满的整个空间，仅当△（m，n是正整数）时，轨道才能经有限次震荡后自行闭合，运动又完全自行重复。轨道是一转动着的类似椭圆的曲线。 7. 一卫星沿关于地球的半径为2（为地球半径）的圆形轨道运动。在某一时刻，卫星的运动方向朝向地球改变了角，而速率不变。求使卫星刚要接触地球之角。 [解] 由，当卫星沿半径为2的圆形轨道运动时，速率为 能量为 在某时刻，运动方向改变了角，于是角动量改变了，但速率未变，因而能量也未变。新的角动量 卫星刚好接触地球的条件是近地点距离，由能量方程有 在远近点（供点），，所以 两边乘以得 此式称远近点方程。将l及E之值代入此式，得 近地点由下式给出 当时，故。 7. 地球上方几百公里高处来自稀薄的上层大气的阻力，对于沿圆形轨道运行的卫星产生的效应竟是使卫星速率增大，如何解释这个“卫星怪象”？ 如果上层大气的阻力是，v是卫星的速率，卫星到地心的径向距离r终归要以的比率减小，C是正常数，它足够地小，使卫星每转一周的能量损失同总能量相比为一小量，求A和的表达式。 [解] 在圆形轨道运动中，半长轴a即圆的半径r。 （1） 由于大气阻力把机械能转变成热能，因而卫星的总能量E减少，轨道半径将因之减小。但由于上层大气十分稀薄，必须经过转许多圈，卫星高度才会有明显改变，在此之前轨道仍保持近似圆形。由（1）式知，E减小T必然增大，这导致卫星速率增大。 由于 （2） 又因 所以 （3） 比较（2）与（3），只能为3。因此有 7. 一卫星匀速地运动在以地心O为中心，半径为4a的圆形轨道上，这里a是地球半径。点燃反推进火箭以减小卫星的速率，不改变其方向，因而其后它运动在一椭圆轨道上，它到O的最近距离是2a。证明卫星速率必须按照的比例减小。 [解] 对圆形轨道 因圆轨道半径4a，故。 设卫星的速率由变到，在以后的运动中，能量常数为 有远近点方程 得 由题知，远地点距离是r=4a，它必是方程的一个根，分解因式得 所以近地点距离必为，而由题意知 7.证明：循着椭圆轨道运动的行星，如其在远日点速度突然增加的话，则在近日点时行星到太阳的距离增加了。 [解] 行星在远日点速度突然增加一小量