第17讲梁纯弯曲和横力弯曲时横截面上的正应力doc.doc

第17讲 教学方案 ——弯曲正应力 基 本 内 容 梁纯弯曲和横力弯曲时横截面上的正应力 教 学 目 的 掌握梁纯弯曲时横截面上正应力计算公式的推导过程，理解推导中所作的基本假设。 理解横力弯曲正应力计算仍用纯弯曲公式的条件和近似程度。 掌握中性层、中性轴和翘曲等基本概念和含义。 重 点 、 难 点 本节重点：纯弯曲时横截面上正应力公式的推导和计算。 本节难点：横力弯曲正应力计算仍用纯弯曲公式的条件和近似程度。  第七章 弯曲应力 §7-1纯弯曲正应力 梁的横截面上同时存在剪力和弯矩时，这种弯曲称为横弯曲。剪力Q是横截面切向分布内力的合力；弯矩M是横截面法向分布内力的合力偶矩。所以横弯梁横截面上将同时存在剪应力和正应力。实践和理论都证明，其中弯矩是影响梁的强度和变形的主要因素。因此，我们先讨论Q = 0，M = 常数的弯曲问题，这种弯曲称为纯弯曲。图6-1所示梁的CD段为纯弯曲；其余部分则为横弯曲。 与扭转相似，分析纯弯梁横截面上的正应力，同样需要综合考虑变形、物理和静力三方面的关系。 1．变形关系——平面假设 考察等截面直梁。加载前在梁表面上画上与轴线垂直的横线，和与轴线平行的纵线，如图6-2a所示。然后在梁的两端纵向对称面内施加一对力偶，使梁发生弯曲变形，如图图6-2b所示。可以发现梁表面变形具有如下特征： （1）横线（m-m和n-n）仍是曲线，只是发生相对转动，但仍与纵线（如a-a，b-b）正交。 （2）纵线（a-a和b-b）弯曲成曲线，且梁的一侧伸长，另一侧缩短。 根据上述梁表面变形的特征，可以作出以下假设：梁变形后，其横截面仍保持平面，并垂直于变形后梁的轴线，只是绕着梁上某一轴转过一个角度。与扭转时相同，这一假设也称平面假设。 此外，还假设：梁的各纵向层互不挤压，即梁的纵截面上无正应力作用。 根据上述假设，梁弯曲后，其纵向层一部分产生伸长变形，另一部分则产生缩短变形，二者交界处存在既不伸长也不缩短的一层，这一层称为中性层。如图6-3所示。中性层与横截面的交线为截面的中性轴。 横截面上位于中性轴两侧的各点分别承受拉应力或压应力；中性轴上各点的应力为零。 下面根据平面假设找出纵向线应变沿截面高度的变化规律。 考察梁上相距为dx的微段（图6-4a），其变形如图6-4b所示。其中x轴沿梁的轴线，y轴与横截面的对称轴重合，z轴为中性轴。则距中性轴为y处的纵向层a-a弯曲后的长度为，其纵向正应变为 （a） 式（a）表明：纯弯曲时梁横截面上各点的纵向线应变沿截面高度线性分布。 2．物理关系 根据以上分析，梁横截面上各点只受正应力作用。再考虑到纵向层之间互不挤压的假设，所以纯弯梁各点处于单向应力状态。对于线弹性材料，根据胡克定律 于是有 （b） 式中、均为常数，上式表明：纯弯梁横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的垂直距离y成正比。即正应力沿着截面高度按线性分布，如图6-4d所示。 式（b）还不能直接用以计算应力，因为中性层的曲率半径 以及中性轴的位置尚未确定。这要利用静力关系来解决。 3．静力关系 弯矩M作用在x-y平面内。截面上坐标为y、z的微面积dA上有作用力。横截面上所有微面积上的这些力将组成轴力N以及对y、z轴的力矩My和Mz： （c） （d） （e） 在纯弯情况下，梁横截面上只有弯矩，而轴力 和 皆为零。 将式（b）代入式（c），因为 ，故有 其中 称为截面对z轴的静矩。因为，故有。这表明中性轴z通过截面形心。 将式（b）代入式（d），有 其中 称为截面对y、z轴的惯性积。使的一对互相垂直的轴称为主轴。由于y轴为横截面的对称轴，对称轴必为主轴，而z轴又通过横截面形心，所以y、z轴为形心主轴。 将式（b）代入式（e），有 得到 （6-1） 其中 称为截面对z轴的惯性矩；称为截面的抗弯刚度。式（6-1）表明，梁弯曲的曲率与弯矩成正比，而与抗弯刚度成反比。 将式（6-1）代入（b），得到纯弯情况下的正应力计算公式 （6-2） 上式中正应力的正负号与弯矩 及点的坐标y的正负号有关。实际计算中，可根据截面上弯矩的方向，直接判断中性轴的哪一侧产生拉应力，哪一侧产生压应力，而不必计及和y的正负。 §7-2 横弯曲正应力 梁在横弯曲作用下，其横截面上不