运用数学的三种型求解物理量的极值.doc

运用数学的三种基本模型求解物理量的极值 贵州省惠水民族中学 姚本志 极值问题是物理计算中的基本问题之一，解决这样的问题思维特点一般是：直接通过分析物理过程，明确物理概念，运用物理规律，抓关键字句，挖掘隐含条件进行分析，有的仅凭简单地分析或凭直觉就可以做出判断。但是有些物理量的极值，通过物理过程的分析却只能大概确定可能有极值，甚至完全不能够确定。更有一些列出了物理方程，通过一些简单和常用的变换，还是无法确定是否存在极值。这时我们可以根据物理过程、物理规律，建立物理方程，借助数学模型的处理手段和方法，方便、快捷地求出物理量的极值。 下面仅以数学的三种基本模型结合实例分析求极值的具体方法。 1、 运用三角函数模型求解物理量的极值 数学模型1：如果所求物理量的表达式转化为三角函： ，则当时，y有最大值。 例1，如图1所示，一辆圆弧形的小车停在水平地面上，在小车所在的空间内存在竖直向下、大小为E的匀强电场。一个带正电荷的小球，其质量为m，电量为q，从顶端由静止开始下滑，这一过程中小车始终保持静止状态。问：当小球运动到何处，地面对小车的静摩擦力最大？最大值是多少？ 解析：设圆弧的半径为R，小运动到半径与竖直方向成 角时，静摩擦力最大，记为：，且此时小球 速度为v。圆弧轨道对小球的作用力为，小球受 力如图所示，由动能定律和牛顿第二定律有： …………………… ① ………………… ② E 由①、②式可得，，由牛顿第三定律，小球对圆弧的作用力大小，而此作用力在水平方向上的分力大小为： ， 由题意，对小车根据平衡条件有： 再根据数学模型1可知，当时，地面对小车的静摩擦力最大：，方向水平向右。 数学模型2：如果所求物理量的表达式转化为三角函数函数：（a、b均为常数），通过变换得： 令 ， 等效变换后得： 当，y有最大值： 例2，一带正电的滑块质量为，电量为，放在倾角为的绝缘固定斜面上，如图2所示，已知滑块与斜面间的动摩擦因素为。现要使滑块以加速度沿斜面向上做匀加速运动，可在固定斜面所在的空间内加一匀强电场E。试求：匀强电场E至少为多大及其方向如何？ 解析：要使带电滑块沿斜面向上匀加速运动，则滑块所受合外力必沿斜面向上，设匀强电场E与斜面方向成夹角，对滑块受力如图3所示，根据牛顿第二定律有： 得： …………………………………………………① ①式中形如二次函数的形式，其中，，现： 令 ， 则①式可转化为： ………...② 由②式可得： ，故当时，E有最小值： 。 又因为，而，则，故匀强电场E与斜面方向的夹角或。 2、 运用二次函数模型求解物理量的极值 如果所求物理量的表达式转化为二次函数：（式中a、b、c为任意实数，且），通过配方法将上述二次函数转化为： 的形式。 当a0，且时，y有最小值为： 当a0，且时，y有最大值为： 例3，如图4所示，电源电动势，内阻，，，滑动变阻器的总阻值，试分析滑动变阻器的触头P在何位置时，电压表示数最大？最大为多少？ 解析：设触头P右侧电阻为，而被触头P分为： 及（）两部分，故与串联后再 与（）并联，得并联电阻为： 根据欧姆定律干路中的电流为： ……………………………………………………..① 故电压表的示数为： ………………………………………………………….② 据（2）式可以作如下分析： 令，则，此式形如二次函数的形式，其中 ，， 因，所以当时，y有最大值： 将代入②式及代入各数值，解得电压表的最大示数为：。 3、 运用不等式模型求解物理量的极值 根据数学中的个正数的算术平均值总是大于或者等于其几何平均值，即 故此，由不等式的特点可以推导出两个简单但很重要的常用数学模型来解决物理量的极值问题。 （1）定和求积模型：令a、b均为正数。根据上述不等式有： ，若为常数，则当时，其积为最大值。即：两个正数之和为常数，则两个正数之积在两数相等时取最大值。 如果所求物理量的表达式转化为，为系数，则y有最大值=。 例4，如图5所示，矩形线框的周长为L，在磁感应强度为B的匀强磁场中，以角速度匀速转动，试问，当AB边为多大时，线框中产生的感应电动势的峰值最大？ 解析：设，，（）， 则线框的面积为。 根据法律第电磁感应定律，线框中感应电动势的 峰值表达式为： ，式中， 为常数，故形如定和求积模型的形式， 这里系数。当时，，S有最大值。 故感应电动势的峰值为： （2）定积求和模型：令a、b均为正数。根据上述不等式有：，若为常数，则当时，其和为最小值。即：两正数之积为常数，则两正数之和在两数相等时有最小值。 如果所求物理量转化为