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《现代数学专题选讲》学习报告格式 标题（二小黑体加粗） 二、学生姓名：××× 指导老师：××× （小四号，宋体） 三、电子科技大学应用数学学院2006级××××专业×班 （小五号，宋体） 四、摘要（200-250字）（小五号，宋体） 五、关键词（3-5个）（小五号，宋体） 六、正文(300-6000字) （五号，宋体） 1、 引言 2、 主题内容 3、 结束语（内容总结） 七、参考文献 示范论文 拓扑学在混沌等价刻画与函数连续性研究 中的一些应用 学生姓名：××× 指导老师：××× （电子科技大学应用数学学院2006级××××专业××班，学号××××××） 摘要 本文将Devaney混沌定义推广到一般拓扑空间, 利用拓扑空间结构简单性, 发现并且证明了Devaney混沌映射的周期点与拓扑空间的开集之间的本质联系: 连续自映射是Devaney混沌的当且仅当任何二非空开集共享同一周期轨. 并且用类似的方法, 在数学分析中得到了函数连续的一个充要条件. 通过这两个实例, 在一定程度上说明了点集拓扑在数学教学与研究中的重要性. 关键词 拓扑空间 连续映射 混沌 周期轨 逆像 半个世纪以来, 拓扑学一直被誉为现代数学的“三大基础”之一. 各重点高校的数学专业(无论是本科数学专业还是研究生)都始终不移将其作为是一门专业基础课程. 然而, 作为新步入数学专业的普通数学工作者自然要问: 问题1 为什么拓扑学是数学的一门基础课程? 问题2 拓扑学对数学研究和大学数学课程的教学究竟有何指导作用?. 关于问题1, 人们可以在学习了拓扑学的基础内容(点集拓扑)之后, 在继续学习《泛函分析》、《微分几何》（整体）、《动力系统理论》、《非线性分析》等数学理论课程的过程中逐步地寻找到答案。本文就拓扑学在混沌理论研究以及数学分析中连续函数性质研究谈两点体会. §1 点集拓扑在混沌数学理论研究中的应用 1975年，Li-Yorke第一次间接地给出了混沌（chaos）的严格数学定义如下： Li-Yorke混沌定义 设是一个区间，是一个连续映射，如果满足下列条件被满足： ：对于任何自然数，有-周期点； ：存在一个不可数集合使得下列二条件成立： (2.1）: 都有 ,且; (2.2) , , 有. 则称是Li-Yorke意义下的混沌映射. 其中: 是的周期点集. 由于混沌现象在现实世界中无所不有，因此，自Li-Yorke混沌定义给出以来就倍受各领域的普遍关注. 但这定义在应用研究中存在有如下两方面的不足: (A1) 映射是在区间上定义的, 适用范围太狭窄; (A2) 这定义是高度抽象的数学定义,缺乏直观性,不利于工程应用. 为克服（A1）在混沌研究中带来的困难，1987年，周作领在文献[2]中将上述Li-Yorke定义推广到度量空间并且对其作了如下修正: 周氏混沌定义 对于度量空间, 若存在不可数集使得:,有并且, 则称是一个混沌映射. 为克服(A2)在应用研究中的不足, 1989年, R.L.Devaney对混沌作了如下更直观的定义： Devaney混沌定义 设是一度量空间，一个连续映射：称为是的一个混沌映射(chaos mapping)，如果下列三条件被满足: （ⅰ）是拓扑传递的. （ⅱ）的周期点在中稠密. （ⅲ）具有对初始条件的敏感依赖性. 其中: 条件（i）, 称映射是拓扑传递的, 如果对于上一切非空开集和, 存在整数 0使得;条件(ii)就是, 其中是的周期点集 的闭包; 关于条件(iii), 我们称是对初始条件的敏感依赖的, 如果存在实数, 对于及的任何开邻域, 存在和自然数使得.这里, 为上度量, 为非负整数集. 混沌的周氏定义与Devaney定义都是建立在度量空间的基础上的. 因此, 这两个定义是否等价自然成为人们关注的热点问题. 2002年, 文献[4]对于紧度量空间证明了: Devaney混沌意味着周氏混沌. 2001年, 文献[5]在区间上如下等价刻画 定理1.1为混沌（Li-Yorke）的充要条件是存在使得 ,并且. 在此, 一个自然的问题是: Devaney混沌是否象Li-Yorke混沌一样有类似于上述定理1的充分必要条件? 令人庆幸的是: 早在1992年Banks等人在文献[5]证明了：在Devaney定义中,条件（ⅰ）和（ⅱ）可以推出（ⅲ），而（ⅰ）和（ⅱ）是不可去的. 由于Banks等人的这一工作, 而今, 使我们很容易地将Devaney混沌定义在拓扑空间上作如下推广： 定义1.1 设是一个拓扑空间，连续映射：称为在上是Devaney混沌的，如果它是拓扑传递的并且其周期点集在中稠密. 这种数学的再度抽象使Devaney混沌彻底地脱了离度量的限制. 进而,让我们看到: Devaney混沌