垂径定理例题的变式拓展.docVIP

垂径定理例题的变式拓展 　　课本中的例题、习题具有较强的示范性、知识性和可变性，通过对其深入挖掘再纵向拓展、横向联系，就会让呈现的知识“源于课本，又高于课本”. 这样不仅能加深概念、原理的理解、疏通知识之间的联系，而且对培养思维品质、拓展解题思路、提升学习能力具有十分重要的作用. 本文就以垂径定理为例，创设变式，使得同学们能够在不同角度、不同层次下重新认识垂径定理. 　　一、 定理的拓展 　　垂径定理是这样阐述的：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧. 写成数学符号语言就是：如图1，∵CD⊥AB ，CD是直径，∴AM=BM、■=■、■=■. 而在具体问题中，直径不一定完整，可以是半径或过圆心的线段，下面是几种常见的垂径定理基本图形的变式图，根据以下变式图形可以写出相应的符号语言： 　　如图2，∵OC⊥AB，OC是半径，∴AM=BM，■=■. 　　如图3，∵DM⊥AB，DM经过圆心，∴AM=BM，■=■. 　　如图4，∵OM⊥AB，OM经过圆心，∴AM=BM. 　　二、 例题的拓展 　　苏科版教材第114页例2： 　　已知：如图5，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点. AC与BD相等吗？为什么？ 　　解：AC=BD. 理由：过点O作OP⊥AB，垂足为P. 　　∵OP过圆心，OP⊥AB，∴PA=PB，PC=PD，∴PA-PC=PB-PD，即AC=BD. 　　方法归纳：圆心到弦的距离叫做“弦心距”（如图4中的线段OM），它也是圆中十分重要的辅助线. 我们经常通过作弦心距，构造垂径定理的基本图形来解决问题. 　　变式1：如图6，⊙O交△OAB的边AB于点C、D. 如果OA=OB，那么AC与BD是否相等？为什么？ 　　变式2：如图7，AB、CD是⊙O的两条平行弦. ■与■相等吗？为什么？ 　　【分析】变式1的第一问相当于是在例题基础上少了一个大圆，但相应又增加了OA=OB这个条件，这两个条件其实是等同的，所以方法也是一样的，过圆心作弦心距构造垂径定理的基本图形即可. 变式2与例题相比，前者是同一个圆中两条弦平行，通过作弦心距无法说明，但只要过圆心作垂直于这两条弦的半径或直径利用垂径定理就可以解决，也就是说，垂径定理不仅能推导出线段相等也能推出弧相等. 　　变式3：如图8，（1） 在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3，求⊙O的半径、弓形高CD的长. 　　（2） 在⊙O中，半径为5，圆心O到AB的距离为3，求弦AB的长、弓形高CD的长. 　　（3） 在⊙O中，半径为5，弦AB的长为8，求圆心O到AB的距离、弓形高CD的长. 　　（4） 在⊙O中，弦AB的长为8，弓形高CD的长为2，求⊙O的半径、圆心O到AB的距离. 　　【分析】解决圆内半径（或直径）、弦长、弦心距、弓形高的问题时，常见辅助线是作弦心距、连接半径，构造 “垂径三角形”，即图中的△OAC，它的边AO是半径、边OC是弦心距、边AC是弦AB的一半，已知半径（或直径）、弦长、弦心距、弓形高中的任意两个量就能求出另外两个量，尤其要注意在已知弦长、弓形高求半径时，要用方程思想解决. 　　练习：（1） 如图9，已知∠C=90°，⊙C与AB相交于点D，AC=5，CB=12，求AD的长. 　　（2） 如图10，圆内一弦CD与直径AB相交成30°，且分直径为1 cm和5 cm，则圆心到这条弦的距离为多少？CD长为多少？ 　　【分析】练习（1）中已知半径，要求弦长，根据常用思路，作弦心距构造“垂径三角形”的方法，只需要求出弦心距即可，利用面积法可求直角三角形斜边上的高即可求出弦心距，已知半径和弦心距，便可求出弦长. 练习（2）的条件较为隐蔽，直径、弦心距均未直接告知，这也正是本题难点所在，但细心观察可以发现直径较易求，过圆心向CD作垂线，连接OD，仍可构造“垂径三角形”，但如何求出弦心距是关键，这里需要同学们发现含30°角的直角三角形，已知斜边，可求对边，对边即弦心距，最终也就转化为在“垂径三角形”中，已知直径（半径）和弦心距，可以求弦长. 　　变式4：如图11，已知：AB和CD是⊙O内的两条平行弦，AB=6 cm，CD=8 cm，⊙O的半径为5 cm. 　　（1） 两条平行弦所夹的弧相等吗？为什么？ 　　（2） 求出AB与CD间的距离. 　　【分析】如果在同一个圆中同时出现两条平行弦，根据上述变式2，可以说明这两条平行弦所夹的弧相等，那么如何求这两条平行弦之间的距离呢？我们已经知道已知半径和弦长可求弦心距，如果在同一个圆中同时出现两条平行弦，那情况又有两种：一种是两条弦位于圆心同侧，两弦距离即两弦心距之差；一种是位于圆心异侧，两弦距离即两弦心距之和. 　　当前，有很多同学感到在解决有关圆的问题时往往把