课程综合设计项目应用线性代数知识解答水箱水流量问题.doc

综合实验 [学习目的] 学习对数学知识的综合运用； 学习数学建模——数学应用的全过程； 培养实际应用所需要的双向翻译能力。 工科数学而言，学习数学的最终目的应落实在数学的实际应用上，尽管数学也应将训练学生的抽象思维能力为目的，但这也许作为课堂教学的重要内容更为实际可行些，数学实验应注重学生对数学的应用能力——数学建模能力的培养、注意科学研究方法上的培养。 水箱水流量问题 [学习目标] 能表述水箱水流量问题的分析过程； 能表述模型的建立方法； 会利用曲线拟合计算水箱的水流量； 会利用Mathematica进行数据拟合、作图和进行误差估计。 问题 许多供水单位由于没有测量流入或流出水箱流量的设备，而只能测量水箱中的水位。试通过测得的某时刻水箱中水位的数据，估计在任意时刻（包括水泵灌水期间）t流出水箱的流量f（t）。 给出下面原始数据表，其中长度单位为E（1E=30.24cm）。水箱为圆柱体，其直径为57E。 时间（s） 水位（10 –2E） 时间（s） 水位（10 -2E） 0 3175 44636 3350 3316 3110 49953 3260 6635 3054 53936 3167 10619 2994 57254 3087 13937 2947 60574 3012 17921 2892 64554 2927 21240 2850 68535 2842 25223 2795 71854 2767 28543 2752 75021 2697 32284 2697 79254 泵水 35932 泵水 82649 泵水 39332 泵水 85968 3475 39435 3550 89953 3397 43318 3445 93270 3340 假设： 影响水箱水流量的唯一因素是该区公众对水的普通需求； 水泵的灌水速度为常数； 从水箱中流出水的最大流速小于水泵的灌水速度； 每天的用水量分布都是相似的； 水箱的流水速度可用光滑曲线来近似； 当水箱的水容量达到514.8×103g时，开始泵水；达到667.6×103g时，便停止泵水。 问题分析与建立模型 引入如下记号： V——水的容积； Vi——时刻ti（h）水的容积（单位G，1G=3.785L（升）； f（t）——时刻ti流出水箱的水的流速，它是时间的函数（G/h）； p——水泵的灌水速度（G/h）。 根据要求先将上表中的数据做变换，时间单位用小时（h），水位高转换成水的体积（V=πR2h），得下表。 时间（h） 水量（103G） 时间（h） 水量（103G） 0 606.1 12.954 639.5 0.921 593.7 13.876 622.4 1.843 583.0 14.982 604.6 2.950 571.6 15.904 589.3 3.871 562.6 16.826 575.0 4.978 552.1 17.932 558.8 5.900 544.1 19.038 542.6 7.001 533.6 49.959 528.2 7.929 525.4 20.839 514.8 8.968 514.8 22.015 / 9.981 / 22.958 / 10.926 / 23.880 663.4 10.954 677.6 24.987 648.5 12.033 657.7 25.908 637.6 注：第一段泵水的始停时间及水量为 t始=8.968（h），v始=514.8χ103（G） t末=10.926（h），v末=677.6χ103（G） 第二段泵水的始停时间及水量为 t始=20.839（h），v始=514.8χ103（G） t末=22.958（h），v末=677.6χ103（G） 由于要求的是水箱流量与时间的关系，因此须由上表的数据计算出相邻时间区间的中点及在时间区间内水箱中流出的水的平均速度： 平均流速=（区间左端点的水量―区间右端点的水量）/区间中点值 得下表： 时间区间的中点值（h） 平均流量（×103G/h） 0.4606 14.0 1.382 12.0 2.396 10.0 3.411 9.6 4.425 9.6 5.439 8.9 6.45 9.6 7.468 8.9 8.448 10.0 9.474 / 10.45 / 10.94 / 11.49 18.6 12.49 20.0 13.42 19.0 14.