课题定积分的概念及性质.doc

5.1定积分的概念及性质 教学目的 理解定积分的概念和性质,了解定积分的几何意义 教学重点 定积分的概念 教学难点 定积分概念的理解 教学内容 1.复习 不定积分的概念. 2.讲授新课 2.1两个引例 引例1 曲边梯形的面积 由连续曲线（）和及围成的平面图形称为曲边梯形（如图5-1）． 由于曲边梯形在底边上各点处的高在区间上是不断变化的，因而它的面积不能由公式 底×高 求得.为了计算曲边梯形的面积，我们可以先将它分割成若干个小曲边梯形，在小曲边梯形中的变化很小，可以用相应的小矩形近似代替，用所有小矩形的面积之和近似代替整个曲边梯形的面积.显然，分割的越细，近似程度就越高，当无限细分时，所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值. 根据以上分析，我们按下面的方法求曲边梯形的面积. 设函数在区间上连续，且. 在上任取个内分点： ，将区间 分割为个小区间: 图1 记每一小区间长度为，过分点作轴的垂线，将曲边梯形分割为个小曲边梯形；设表示第个小曲边梯形的面积，则曲边梯形的面积为.在每个小区间上任意取一点，以为底边，为高作小矩形，则小矩形的面积为，当很小时，有 若分点越多，就越小，上式的近似程度就越高，小矩形的面积总和也就越接近于曲边梯形的面积.即 ， 此为曲边梯形面积的近似值．若用来表示所有小区间中的最大区间长度，当分点数无限增大且趋于零时，该近似值就趋近于曲边梯形的面积，即 . 我们把极限称之为曲边梯形的面积． 引例2 变速直线运动的路程 设质点运动的速度函数是连续变化的且大于零，考虑从时刻到时刻所走过的路程．我们仍然采用分割的方法： （1）用分点：将时间区间分成个小区间: ，每个小区间的长度记为． （2）近似代替：在每一时间区间内任取一时刻，则质点在该时间区间走过的路程近似为 ， （3）求和：将每个时间区间上质点所通过的路程的近似值累加起来，就得到时间区间上质点所通过的路程的近似值，即 （4）取极限：当分点无限增加时，记小区间最大的一个长度为，当时，则和式的极限就是质点从时刻到时刻的路程，即 2.2定积分的定义 以上两个例子的实际意义不同，但处理问题的思想方法是相同的，最后所得到的结果都归结为求和式的极限.数学上将这类和式的极限称作为定积分. 定义1　设函数在上有定义，任取分点 将分成个小区间，记为区间长度，，并在每个小区间上任取一点，得出乘积的和式 若时，和式的极限存在，且此极限值与区间[]的分法及点的取法无关，则称这个极限值为函数在上的定积分，记为，即 . (1) 这里称为被积函数，称为被积表达式，叫积分变量，叫积分区间，称为积分下限，称为积分上限.若在上的定积分存在，则说在上可积. 根据定义，在上述例中的曲边梯形的面积用定积分可以表示为；变速直线运动的质点的路程可以表为：. 关于定积分的定义，有以下说明： (1)定积分的值只与被积函数、积分区间有关，与积分变量的符号无关.即 . (2)定义中要求，若、时有如下规定： 当时， ， 即互换定积分的上、下限，定积分要变号. 当时， . 在怎样的条件下，在上的定积分一定存在呢？有下面的定理： 定理1 如果在上连续，则在上可积. 定理2 如果在上有界，且只有有限个间断点，则在上可积. 由此可知，初等函数在其定义区间内都是可积的. 2.3定积分的几何意义 在讨论曲边梯形面积时，假定，曲边梯形的图形在轴的上方，则积分值是正的，即； 若，图形在轴的下方，则积分值是负的，即； 若在上有正有负时，则积分值就表示曲线 在轴上方和轴下方的面积的代数和. 如图2所示 . 例1 用定积分表示图中阴影部分的面积. 图4 解 (1)；(2). 图3 图5 例2 利用定积分的几何意义，说明的成立． 解 的几何意义是由曲线，，围成的图形的面积，如图5-5所示，求得面积为，故． 2.4定积分的性质 设、在区间上可积，则根据定义可推证定积分有以下的性质： 性质1 . 性质2 常数因子可直接提到积分符号前面. . 性质3 代数和的积分等于积分的代数和，即 . 这一结论可以推广到有限多个函数代数和的情况. 性质4 对任意的点，有 . 这一性质称为定积分的可加性，无论还是，性质均成立 性质5 如果在上有，则. 特别地，当时， . 性质6 （估值定理）若函数在区间上的最大值与最小值分别为和，则 . 这是因为，由性质5得，再由性质1和性质2即可得结论. 性质7(积分中值定理) 设在闭区间上连续，则至少存在一点，