第5章 形式统与推理技术.doc

* 第5章 形式系统与推理技术 读者已经看到，逻辑代数的确揭示了人类思维的基本规律，例如┝A∨┐A（排中律），┝ ┐(A∧┐A)（矛盾律），A∧(A→B)┝ B（假言推理），A→(B∧┐B) ┝ ┐A（归谬推理），(A∨B)∧ (A→C)∧(B→C)┝ C（穷举推理）; 逻辑代数还提供了真值计算、代入、替换、对偶等演算手段，可用于对其它思维规律的探求。但是，这与数理逻辑所追求的形式化、公理化的目标相去甚远。 20世纪初，数理逻辑研究的一个重要目的在于建立一个严密的数学体系,来刻划人的思维的规律。这个体系以符号语言来表达；以若干表示最基本逻辑规律的公式（永真式）为基础，称为公理（axioms）；以若干可对公式进行重写的规则（确保由永真式重写出永真式），作为系统内公式变换的依据，称为推理规则（rules of reference）。系统内推演的全部依据是符号的形式,而不是别的任何东西，并且系统能导出且只能导出反映人们思维正确规律的永真式，进而成为人类进行逻辑推理的一个框架，它保证在前提正确的条件下，总得出正确的推理结果。这就是所谓数理逻辑的形式系统。[2] 本章先推出一个经典简明的谓词演算形式系统FC（first order predicate calculus formal system），借以介绍形式系统的相关概念。然后较完整地讨论一个相对实用的形式系统——自然推理系统，也称自然演绎系统（natural deduction system）,简记为ND。 5.1 谓词演算形式系统FC 5.1.1 FC的基本构成 谓词演算形式系统FC由两个部分组成：1. 谓词演算形式系统FC的语言部分。2. 谓词演算形式系统FC的理论部分。 1. 谓词演算形式系统FC的语言部分。 FC的符号表： 个体变元 x ,y ,z ,u ,v ,w , … 个体常元 a ,b ,c ,d ,e, … 个体间运算符号（函数符） f (n) , g (n) , h (n) ,… 其中n为任一正整数，表示函数的元数。 谓词符号P (n)，Q (n)，R (n)，S (n)，… 其中n为非负整数，表示谓词的元数。当 n = 0时谓词符退化为一个命题常元。 真值联结词 ┐, → 量词 (把 $v 看作┐v┐的缩写) 括号 ( ， ) FC的更高一级的语言成分有“个体项”和“公式”。 个体项(terms, 以下简称项)归纳定义如下： （1）个体变元和个体常元是项。 （2）对任意正整数n，如果f (n)为一n元函数符，t1 , … ,tn为项，那么f (n)(t1,…,tn)也是项。 （3）除有限次使用（1），（2）条款所确定的符号串外，没有别的东西是个体项。 合式公式(well found formula，以下简称公式)归纳定义如下： （1）对任意非负整数n，如果P (n)为一n元谓词符，t1 , … ,tn为项，那么P (0)（命题常元）和P (n) (t1,…,tn)（n 0）是公式。 （2）如果A，B为公式，v为任一个体变元，那么(┐A) , (A→B) , (vA) (或(vA(v)))均为公式。 （3）除有限次使用（1）（2）条款可确认为公式的符号串外，没有别的东西是公式。 公式中括号的省略原则同前。约束变元、自由变元及辖域等概念照旧。今后，我们常用大写拉丁字母A，B，C, …,表示任意公式，用A(v)等表示公式A中含有自由变元v；常用大写希腊字母Γ表示一个公式的集合，Γ可以是空集合；用Γ；A表示在公式集合Γ中添入公式A，即Γè{A}。 此外，我们还需要以下定义： 定义5.1 设v1,…,vn是公式A中的自由变元，那么公式v1…vnA(或v1…vnA(v1,…,vn)称为A的全称封闭式（generalization clusure）。A不含自由变元时，A 的全称封闭式为其自身。 2. 谓词演算形式系统FC的理论部分 FC的公理系统包括以下公理（A，B，C为任意公式）： A1. A→(B→A) A2. (A→(B→C))→((A→B)→(A→C)) A3. (┐A→┐B)→(B→A) A4. xA(x)→A(t/x)（x为任一变元，t为对x可代入的项）。 A5. x (A(x)→B(x))→(xA(x)→x B(x))（x为任一变元）。 A6. A→x A（A中无自由变元x）。 A7. 以上公式的全称封闭式都是FC的公理。 推理规则: (分离规则)。 A1——A3为命题演算的重言式，也是谓词演算的永真式