苏教版高中数学修教案：第11课时异面直线(二).doc

第11课时 异面直线（二） 教学目标： 会求异面直线所成的角和异面直线间的距离，培养学生的空间想象能力、分析问题、解决问题的能力、逻辑推理能力，使学生初步掌握将空间问题转化为平面问题的数学思想；渗透事物互相转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点. 教学重点： 异面直线所成角的计算和异面直线间距离的计算. 教学难点： 异面直线所成角的计算和异面直线间距离的计算. 教学过程： Ⅰ.复习回顾 ［师］上节课我们学习了异面直线所成的角，异面直线间的距离两个概念，请一位同学来叙述一下异面直线所成角的定义. ［生］过空间任意一点O，与异面直线a和b分别平行的直线所成的锐角(或直角)叫做两条异面直线所成的角. ［师］定义不但告诉我们怎样的角叫做异面直线所成的角，而且告诉了我们两异面直线所成角的范围是什么？ ［生］(0，］ ［师］当两条异面直线所成的角为时，这两条直线______. ［生］垂直、异面垂直. ［师］所以，今后谈到两条直线垂直时，它们可能共面垂直，也可能异面垂直.在学习异面直线间的距离时，首先涉及到一个概念——异面直线的公垂线.怎样的直线称为异面直线的公垂线呢？ ［生］与两条异面直线都垂直相交的直线称为异面直线的公垂线. ［师］定义中的要点是什么？ ［生］“垂直”“相交”二者缺一不可！ ［师］好！把握好公垂线的概念，异面直线间距离的定义就容易掌握了.谁来表述一下异面直线间距离的定义？ ［生］两条异面直线的公垂线段的长叫做两条异面直线的距离. ［师］上节课求异面直线所成的角与求两条异面直线的距离，我们讨论了一个比较简单的例子.这节课我们继续来研究两条异面直线所成的角和距离的计算方法. Ⅱ.新课讨论 ［例1］在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O1为上底中心，求下列异面直线所成的角. (1)AB1与BC1；(2)A1B与B1D. 分析：求异面直线所成的角，关键是选择恰当的点，通过平移找到两条异面直线所成的角，找到的这个角还要较好的联系已知，对于(1)，同学们看一下，过哪条上的一点，平移另一条好呢？ ［生］过A点平移BC1较好，过C1平移AB1也行，但前者 较后者从图形上看更直观. ［师］怎样平移BC1呢？(学生考虑) ［师］连结AD1，则AD1∥BC1，对吗？为什么？ ［生］连结AD1，则四边形ABC1D1是平行四边形，所以 AD1∥BC1. ［生］∠D1AB1是异面直线AB1与BC1所成的角. ［师］怎样求其大小呢？ ［生］在△D1AB1中求，因为△D1AB1是正三角形，所以∠D1AB1是60°，即AB1与BC1所成的角是60°. ［师］请大家写出此题的解答过程(并请一位同学在黑板上写出). (1)解：连结AD1，则AD1∥BC1 ∴∠D1AB1是异面直线AB1与BC1所成的角 ∵△D1AB1是正三角形 ∴∠D1AB1＝60° 即AB1与BC1所成的角是60°. ［师］下面我们来分析(2)，仍然是先平移将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角. (同学试着平移，怎样也不能奏效) ［师］我们来做一个辅助图形：在这个正方体上面放一个同样大小的正方体.(教师在黑板上画一画，或者在投影片上画也行)，这样能找到两条异面直线所成的角了吗？ ［生］连结B1A2，则B1A2平行于A1B，B1A2与B1D所成的锐角(或直角)是异面直线A1B与B1D所成的角. ［师］怎样求其大小呢？ ［生］在△A2B1D中求. ［师］在△A2B1D中怎样求呢？ ［生］△A2B1D中，B1D＝a，B1A2＝a，A2D＝a.(如果学生答不来，教师再予以提示)，用余弦定理可求得∠A2B1D的大小. ［生甲］知道△A2B1D的三边长度后，通过观察，心算，知A2D2＝B1D2＋B1A22，所以∠A2B1D＝90°，即A1B与B1D所成的角为90°. ［师］请同学们写出解答过程. (2)解：在这个正方体上面放一个同样大小的正方体如图(黑板上的图)，连结B1A2，则B1A2∥BA1 ∴B1A2与B1D所成的锐角(或直角)就是异面直线A1B与B1D所成的角(强调学生注意，这一句表述不能省略，凭观察这个角稍大，故不能用∠A2B1D表示异面直线A1B与B1D所成的角) 在△A2B1D中，B1D＝a，B1A2＝a，A2D＝a ∵A2D2＝B1D2＋B1A22， ∴∠A2B1D＝90°. 即A1B与B1D所成的角为90°. ［师］若求出的∠A2B1D＞90°，那么异面直线A1B与B1D所成的角是怎样的呢？ ［生］是∠A2B1D的补角. ［师］很好.绝对不能忘记两异面直线所成角的范围是(0，］，这个题，待我们学习了后面的知识之后，会有更简捷的解答方法(为学生积极学习后面的知识设下这个“诱饵”). ［例2］一空间四边形ABCD的边长均为a，连对角线AC、BD，且A