训练【七】空间量与立体几何.doc

【高考冲刺】空间向量与立体几何 参考答案与试题解析 　 一、选择题（共20小题） 1．三棱锥O﹣ABC中，OA、OB、OC两两垂直，OC=1，OA=x，OB=y，x+y=4，当三棱锥O﹣ABC的体积最大时，则异面直线AB和OC间的距离等于（　　） 　 A． 1 B． C． D． 2 考点： 用空间向量求直线间的夹角、距离；基本不等式在最值问题中的应用．2361006 专题： 计算题． 分析： 由已知中三棱锥O﹣ABC中，OA、OB、OC两两互相垂直，OC=1，OA=x，OB=y，我们易得到三棱锥O﹣ABC体积的表达式，又由x+y=4，结合基本不等式，即可得到体积的最大值，在这个条件下求出两条异面直线的距离． 解答： 解：∵x＞0，y＞0且x+y=4， 由基本不等式得： xy≤=4 又∵OA、OB、OC两两互相垂直，OC=1， ∴三棱锥O﹣ABC体积V==≤ 当且仅当x=y时等号成立，此时x=y=2 即OA=OB=2， 根据OA、OB、OC两两垂直，得到两条异面直线的距离是过O点在平面OAB上做AB的垂线， 在等腰直角三角形中得到垂线的长度是， 故选B 点评： 本题考查的知识点是棱锥的体积，其中根据基本不等式求出xy在体积取得最大值时对应的长度，是解答本题的关键． 　 2．把∠A=60°，边长为8的菱形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角，则AC与BD的距离为（　　） 　 A． 6 B． C． D． 考点： 与二面角有关的立体几何综合题．2361006 专题： 综合题；数形结合；转化思想；综合法． 分析： 折后两条对角线之间的距离的范围可以根据二面角θ的范围求得，故先找出二面角的平面角，取AC的中点E，连接BE、DE，则∠BED=θ，且BE=ED，所以EF⊥BD，再取BD的中点F，由AF=CF可得：EF⊥AC，则折后两条对角线之间的距离为EF的长，所以当θ=120°时，EF取最小值；当θ=60°时，EF取最大值． 解答： 解：由题设∠A=60°，边长为8的菱形ABCD，则∠D=120°，由余弦定理得AC2=64+64﹣2×8×8cos120°=3×64，故有AC=8 令E、F分别是中点，则折后两条对角线之间的距离为EF的长 由题设条件及图形可证得在△AEC中，∠AEC=60°，AE=CE=4 又F是中点，故有直角三角形AFE中，∠AEF=30°，∠EAF=60°， 故有EF=AE×sin60°=4×=6 故选A 点评： 本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量等知识，解题的关键是做出二面角的平面角来，本题考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力． 　 3．空间四边形ABCD中，各边与对角线均相等，则AB与平面BCD成的角是（　　） 　 A． B． C． D． 考点： 直线与平面所成的角．2361006 专题： 计算题． 分析： 由题意可得多面体ABCD为正四面体，设点A在平面BCD内的射影为O，则O是等边△BCD的中心，∠ABO为所求，Rt△AOB中，根据cos∠ABO= 的值，求出∠ABO 的大小． 解答： 解：由题意可得多面体ABCD为正四面体，设点A在平面BCD内的射影为O，则O是等边△BCD的中心，∠ABO为所求． 设正四面体的棱长为1，则OB=×AB=． Rt△AOB中，cos∠ABO===，∴∠ABO=arccos． 故AB与平面BCD成的角是arccos， 故选A． 点评： 本题考查直线和平面所成的角的定义和求法，找出直线和平面所成的角，是解题的关键． 　 4．设Rt△ABC斜边AB上的高是CD，AC=BC=2，沿高CD作折痕将之折成直二面角A﹣CD﹣B（如图）那么得到二面角C﹣AB﹣D的余弦值等于（　　） 　 A． B． C． D． 考点： 二面角的平面角及求法．2361006 专题： 计算题． 分析： 利用直角三角形的勾股定理求出AD，BD，CD的长度，取AB的中点E，连接CE，DE，判断出∠CED为二面角C﹣AB﹣D的平面角 ，然后通过解直角三角形求出二面角的大小． 解答： 解：因为Rt△ABC斜边AB上的高是CD，AC=BC=2， 所以CD⊥AD，CD⊥BD，AD=BD=，CD= 所以CD⊥平面ABD 取AB的中点E，连接CE，DE， 因为AC=BC=2，所以CE⊥AB，DE⊥AB 所以∠CED为二面角C﹣AB﹣D的平面角 在△ADB中，DE=，CE= 在Rt△CDE中，cos∠CED= 故选B． 点评： 本题考查求二面角的大小，一般先找出平面角，再证明，再解三角形，属于中档题． 　 5．如图，P