高等数学第五章定积分.doc

高 等 数 学 教 案 章节题目 第五章、定积分 §5-1 定积分概念与性质 课型 理论课 教学目的 1、理解定积分概念和几何意义。 2、了解定积分性质。 重 点 定积分概念 难 点 定积分概念 参考书目 《高等数学习题课讲义》同济大学应用数学系 教具 教学后记 教学 过 程 备注 （一）、复习上节内容 （二）、讲授 §5-1 定积分概念与性质 一、定积分举例： 曲边梯形面积 变速直线运动的路程 二、 §5-1 定积分概念与性质 一、定积分举例： 1．曲边梯形面积 设在 上非负，连续，由直线x = a, x = b, y = 0 及曲线 所围成的图形，称为曲边梯形。 求面积： 在区间 [a,b] 中任意插入若干个分点 ，把[a,b]分成n个小区间 [],[], … [], 它们的长度依次为： 经过每一个分点作平行于y轴的直线段，把曲边梯形分成n个窄曲边梯形，在每个小区间[]上任取一点，以[]为底，为高的窄边矩形近似替代第个窄边梯形（i=1,2,…,n）,把这样得到的n个窄矩形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值，即 = 设时，可得曲边梯形的面积 变速直线运动的路程 设某物体作直线运动，已知速度是时间间隔[]上t的连续函数，且，计算在这段时间内物体所经过的路程S 在[]内任意插入若干个分点 把[]分成n个小段 []，[]，…， [] 各小段时间长依次为： 相应各段的路程为： 在[]上任取一个时刻，以时的速度来代替[]上各个时刻的速度，则得： 进一步得到： = 设时， 得： 二、， 路程. 将这种方法加以精确叙述得到定积分的定义 1．定义 设函数上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点 把区间[a,b]分成个小区间 各个小区间的长度依次为. 在每个小区间[]上任取一点),作函数值与小区间长度的乘积并作出和 . 记,如果不论对[a,b]怎样分法,也不论在小区间[]上点怎样取法,只要当时,和S总趋于确定的极限,这时我们称这个极限为函数在区间[a,b]上的定积分(简称积分), 记作,即 ==, 其中叫做被积函数, 叫做被积表达式,叫做积分变量,叫做积分下限,叫做积分上限, [a,b]叫做积分区间. 注意：积分与积分变量无关，即： 函数可积的两个充分条件： 2．定理 定理1 设上连续，则在[a,b]上可积。 定理2 设上有累，且只有有限个间断点，则上可积。 例：利用定积分定义计算 解：连续函数，故可积，因此为方便计算，我们可以对[0,1]n等分，分点取相应小区间的右端点，故 = = = （即），由定积分的定义得： = 三、定积分的性质 当a=b时， 当ab时， 性质1 函数和（差）的定积分等于它们的定积分的和（差），即 证明： = = 性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即 (是常数) 性质3 如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两个区间上定积分之和，即设 acb,则 注意：我们规定无论a,b,c的相对位置如何，总有上述等式成立。 性质4 如果在区间[a,b] 上， 性质5 如果在区间[a,b] 上， 证明：因故，又因 ，故， 设时，便得欲证的不等式。 推论1 如果在[a,b] 上， （ab） 推论2 性质6 设M与m分别是函数上的最大值及最小值，则 （ab） 性质7 （定积分中值定理） 如果函数在闭区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一点，使下式成立： （） 证明：利用性质6，；a,b]上至少存在一点，使 ，故得此性质。 显然无论a.b，还是ab，上述等式恒成立。 做本节后面练习，熟悉上面各性质。 积分中值定理的几何释意如下：在区间[a，b]上至少存在一个，使得以区间[a, b]为底边, 以曲线为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为的一个矩形的面积, 见下图。（在下面做p286图5