支持向量机1.doc

1 简介 支持向量机基本上是最好的有监督学习算法了。最开始接触SVM是去年暑假的时候，老师要求交《统计学习理论》的报告，那时去网上下了一份入门教程，里面讲的很通俗，当时只是大致了解了一些相关概念。这次斯坦福提供的学习材料，让我重新学习了一些SVM知识。我看很多正统的讲法都是从VC 维理论和结构风险最小原理出发，然后引出SVM什么的，还有些资料上来就讲分类超平面什么的。这份材料从前几节讲的logistic回归出发，引出了SVM，既揭示了模型间的联系，也让人觉得过渡更自然。 2 重新审视logistic回归 Logistic回归目的是从特征学习出一个0/1分类模型，而这个模型是将特性的线性组合作为自变量，由于自变量的取值范围是负无穷到正无穷。因此，使用logistic函数（或称作sigmoid函数）将自变量映射到(0,1)上，映射后的值被认为是属于y=1的概率。 形式化表示就是 假设函数 其中x是n维特征向量，函数g就是logistic函数。 的图像是 可以看到，将无穷映射到了(0,1)。 而假设函数就是特征属于y=1的概率。 当我们要判别一个新来的特征属于哪个类时，只需求，若大于0.5就是y=1的类，反之属于y=0类。 再审视一下，发现只和有关，0，那么，g(z)只不过是用来映射，真实的类别决定权还在。还有当时，=1，反之=0。如果我们只从出发，希望模型达到的目标无非就是让训练数据中y=1的特征，而是y=0的特征。Logistic回归就是要学习得到，使得正例的特征远大于0，负例的特征远小于0，强调在全部训练实例上达到这个目标。 图形化表示如下： 中间那条线是，logistic回顾强调所有点尽可能地远离中间那条线。学习出的结果也就中间那条线。考虑上面3个点A、B和C。从图中我们可以确定A是×类别的，然而C我们是不太确定的，B还算能够确定。这样我们可以得出结论，我们更应该关心靠近中间分割线的点，让他们尽可能地远离中间线，而不是在所有点上达到最优。因为那样的话，要使得一部分点靠近中间线来换取另外一部分点更加远离中间线。我想这就是支持向量机的思路和logistic回归的不同点，一个考虑局部（不关心已经确定远离的点），一个考虑全局（已经远离的点可能通过调整中间线使其能够更加远离）。这是我的个人直观理解。 3 形式化表示 我们这次使用的结果标签是y=-1,y=1，替换在logistic回归中使用的y=0和y=1。同时将替换成w和b。以前的，其中认为。现在我们替换为b，后面替换为（即）。这样，我们让，进一步。也就是说除了y由y=0变为y=-1，只是标记不同外，与logistic回归的形式化表示没区别。再明确下假设函数 上一节提到过我们只需考虑的正负问题，而不用关心g(z)，因此我们这里将g(z)做一个简化，将其简单映射到y=-1和y=1上。映射关系如下： 4 函数间隔（functional margin）和几何间隔（geometric margin） 给定一个训练样本，x是特征，y是结果标签。i表示第i个样本。我们定义函数间隔如下： 可想而知，当时，在我们的g(z)定义中，，的值实际上就是。反之亦然。为了使函数间隔最大（更大的信心确定该例是正例还是反例），当时，应该是个大正数，反之是个大负数。因此函数间隔代表了我们认为特征是正例还是反例的确信度。 继续考虑w和b，如果同时加大w和b，比如在前面乘个系数比如2，那么所有点的函数间隔都会增大二倍，这个对求解问题来说不应该有影响，因为我们要求解的是，同时扩大w和b对结果是无影响的。这样，我们为了限制w和b，可能需要加入归一化条件，毕竟求解的目标是确定唯一一个w和b，而不是多组线性相关的向量。这个归一化一会再考虑。 刚刚我们定义的函数间隔是针对某一个样本的，现在我们定义全局样本上的函数间隔 说白了就是在训练样本上分类正例和负例确信度最小那个函数间隔。 接下来定义几何间隔，先看图 假设我们有了B点所在的分割面。任何其他一点，比如A到该面的距离以表示，假设B就是A在分割面上的投影。我们知道向量BA的方向是（分割面的梯度），单位向量是。A点是，所以B点是x=（利用初中的几何知识），带入得， 进一步得到 实际上就是点到平面距离。 再换种更加优雅的写法： 当时，不就是函数间隔吗？是的，前面提到的函数间隔归一化结果就是几何间隔。他们为什么会一样呢？因为函数间隔是我们定义的，在定义的时候就有几何间隔的色彩。同样，同时扩大w和b，w扩大几倍，就扩大几倍，结果无影响。同样定义全局的几何间隔 5 最优间隔分类器（optimal margin classifier） 回想前面我们提到我们的目标是寻找一个超平面，使得离超平面比较