支持向量机通俗导论(理解SVM的三层境界).doc

支持向量机通俗导论（理解SVM的三层境界）第一层、了解SVM支持向量机，因其英文名为support?vector?machineSVM，通俗来讲，它是一种二类分类模型，其基本模型定义为特征空间上的间隔最大的线性分类器，其学习策略便是间隔最大化，最终可转化为一个凸二次规划问题的求解。 1.1、分类标准的起源：Logistic回归理解SVM给定一些数据点，它们分别属于两个不同的类，现在要找到一个线性分类器把这些数据分成两类。如果用x数据点，用y类别（y可以取1-1，分别代表两个不同的类），一个线性分类器的学习目标便是要在n超平面（hyper?plane），这个超平面的方程可以表示为（?wT中的T）： ? 可能有读者对类别取1-1有疑问，事实上，这个1或-1的分类标准起源于logistic回归。Logistic回归目的是从特征学习出一个0/1分类模型，而这个模型是将特性的线性组合作为自变量，由于自变量的取值范围是负无穷到正无穷。因此，使用logistic函数（或称作sigmoid函数）将自变量映射到(0,1)上，映射后的值被认为是属于y=1的概率。 假设函数 ? ? 其中x是n维特征向量，函数g就是logistic函数。 ? ? 而的图像是 ? ? 可以看到，将无穷映射到了(0,1)。 ? ? 而假设函数就是特征属于y=1的概率。 从而，当我们要判别一个新来的特征属于哪个类时，只需求即可，若大于0.5y=1的类，反之属于y=0类。 此外，只和有关，0，而g(z)是在于。再者，当=1，反之=0。如果我们只从出发，希望模型达到的目标就是让训练数据中y=1，而是y=0的特征。Logistic回归就是要学习得到，使得正例的特征远大于00，而且要在全部训练实例上达到这个目标。接下来，尝试把logistic做个变形。首先，将使用的结果标签y?=?0y?=?1替换为y?=?-1,y?=?1，然后将（）中的替换为b，最后将后面的替换为（即）。如此，则有了。也就是说除了yy=0变为y=-1外，线性分类函数跟logistic没区别。进一步，可以将假设函数中的g(z)y=-1和y=1上。映射关系如下： 1.2、线性分类的一个例子下面举个简单的例子，如下图一个二维平面，平面上有两种不同的数据，分别用圈和叉表示。由于这些数据是线性可分的，所以可以用一条直线将这两类数据分开，这条直线就相当于一个超平面，超平面一边的数据点所对应的y-1?，另一边所对应的y全是1。 ? ? 这个超平面可以用分类函数表示，当f(x)?等于0x便是位于超平面上的点，而f(x)大于0的点对应?y=1?，f(x)0的点对应y=-1的点，如下图所示： ? ??注：有的资料上定义特征到结果的输出函数，与这里定义的实质是一样的。为什么？因为无论是，还是，不影响最终优化结果。下文你将看到，当我们转化到优化的时候，为了求解方便，会把yf(x)令为1，即yf(x)是y(w^x + b)，还是y(w^x - b)，对我们要优化的式子max1/||w||已无影响。（有一朋友飞狗来自Mare_Desiderii，看了上面的定义之后，问道：请教一下SVM functional margin 为=y(wTx+b)=yf(x)中的Y是只取1和-1 吗？y的唯一作用就是确保functional margin的非负性？真是这样的么？当然不是，详情请见本文评论下第43楼） 当然，有些时候，或者说大部分时候数据并不是线性可分的，这个时候满足这样条件的超平面就根本不存在(不过关于如何处理这样的问题我们后面会讲)，这里先从最简单的情形开始推导，就假设数据都是线性可分的，亦即这样的超平面是存在的。换言之，在进行分类的时候，遇到一个新的数据点x将x代入f(x)?f(x)小于0则将x类别赋为-1f(x)大于0将x1。接下来的问题是，如何确定这个超平面呢？从直观上而言，这个超平面应该是最适合分开两类数据的直线。而判定“最适合”的标准就是这条直线离直线两边的数据的间隔最大。所以，得寻找有着最大间隔的超平面。 1.3、函数间隔Functional margin与几何间隔Geometrical margin?在超平面w*x+b=0|w*x+b|能够表示点x到距离超平面的远近，而通过观察w*x+by的符号是否一致可判断分类是否正确，所以，可以用(y*(w*x+b))的正负性来判定或表示分类的正确性。于此，我们便引出了函数间隔（functional?margin）的概念。定义函数间隔（用表示）为：?而超平面(wb)关于T中所有样本点(xi，yi)的函数间隔最小值（其中，xy是结果标签，i表示第i个样本），便为超平面(w,?b)关于训练数据集T： ?? ??=?mini ?(i=1，...n)但这样定义的函数间隔有问题，即