数值分析上机作业1-1.doc

数值计算方法上机题目1 1、实验1. 病态问题 实验目的： 算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”和“坏”之别。所谓坏问题就是问题本身的解对数据变化的比较敏感，反之属于好问题。希望读者通过本实验对此有一个初步的体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出： 考虑一个高次的代数多项式 （E1-1） 显然该多项式的全部根为l，2，…，20，共计20个，且每个根都是单重的（也称为简单的）。现考虑该多项式方程的一个扰动 (E1-2)其中是一个非常小的数。这相当于是对（E1-1）中的系数作一个小的扰动。我们希望比较（E1-1）和（E1-2）根的差别，从而分析方程（E1-1）的解对扰动的敏感性。 实验内容： 为了实现方便，我们先介绍两个 Matlab函数：“roots”和“poly”，输入函数 u＝roots（a）其中若变量存储维的向量，则该函数的输出为一个维的向量。设a的元素依次为，则输出u的各分量是多项式方程 的全部根，而函数 b=poly(v) 的输出b是一个n＋1维变量，它是以n维变量v的各分量为根的多项式的系数。可见“roots”和“Poly”是两个互逆的运算函数. ve=zeros(1,21); ve(2)=ess; roots(poly(1:20))+ve) 上述简单的Matlab程序便得到（E1-2）的全部根，程序中的“ess”即是（E1-2）中的。 实验要求： （1）选择充分小的ess，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。如果扰动项的系数很小，我们自然感觉（E1-1）和(E1-2)的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现？表明有些解关于如此的扰动敏感性如何？ （2）将方程（E1-2）中的扰动项改成或其他形式，实验中又有怎样的现象出现？ 实验步骤： （1）程序 function t_charpt1_1 clc result=inputdlg({请输入扰动项:在[0 20]之间的整数:},charpt 1_1,1,{19}); Numb=str2num(char(result)); if((Numb20)|(Numb0))errordlg(请输入正确的扰动项:[0 20]之间的整数!);return;end result=inputdlg({请输入(0 1)之间的扰动常数:},charpt 1_1,1,{0.00001}); ess=str2num(char(result)); ve=zeros(1,21); ve(21-Numb)=ess; root=roots(poly(1:20)+ve); x0=real(root); y0=imag(root); plot(x0,y0, *); disp([对扰动项 ,num2str(Numb),加扰动,num2str(ess),得到的全部根为:]); disp(num2str(root)); 实验结果分析 ess分别为1e-6,1e-8.1e-10,1e-12. 对扰动项 19加扰动1e-006得到的全部根为: 21.3025+1.56717i 21.3025-1.56717i 18.5028+3.6004i 18.5028-3.6004i 15.1651+3.76125i 15.1651-3.76125i 12.4866+2.88278i 12.4866-2.88278i 10.5225+1.71959i 10.5225-1.71959i 9.04485+0.594589i 9.04485-0.594589i 7.9489+0i 7.00247+0i 5.99995+0i 5+0i 4+0i 3+0i 2+0i 1+0i 对扰动项 19加扰动1e-010得到的全部根为: 19.9953+0i 19.0323+0i 17.8696+0i 17.2186+0i 15.4988+0.0211828i 15.4988-0.0211828i 13.7707+0i 13.1598+0i 11.9343+0i