数值分析思考题.doc

数值分析重点考察内容 第一章： 基本概念 第二章： Gauss消去法，Lu分解法 第三章： 题型：具体题＋证明，误差分析 三个主要迭代法，条件误差估计，范数的小证明 第四章： 掌握三种插值方法：拉格朗日，牛顿，厄尔米特，误差简单证明，构造复合函数 第五章： 最小二乘法计算 第六章： 梯形公式，辛普森（抛物线）公式，高斯公式三个重要公式，误差分析。 高斯求积公式的构造 第七章： 几种常用的迭代格式构造，收敛性证明。 第九章： 基本概念（收敛阶，收敛条件，收敛区域等）, 简单欧拉法。 第一章 误差 科学计算中的误差来源有4个，分别是________，________，________，________。 用Taylor展开近似计算函数，这里产生是什么误差？ 0.7499作的近似值，是______位有效数字，65.380是舍入得到的近似值，有____几位有效数字，相对误差限为_______. 0.0032581是四舍五入得到的近似值，有_______位有效数字. 改变下列表达式，使计算结果比较精确： （1） （2） （3） （4） 采用下列各式计算时，哪个计算效果最好？并说明理由。 （1） （2） （3） （4） 6. 已知近似数有4位有效数字，求其相对误差限。 上机实验题： 1、利用Taylor 展开公式计算 ，编一段小程序，上机用单精度计算的函数值. 分别取 x =1，5，10，20，-1，-5，-10，-15，-20，观察所得结果是否合理，如不合理请分析原因并给出解决方法. 2、已知定积分,有如下的递推关系 可建立两种等价的计算公式 (1) (2) 来计算，编程比较哪种计算的数值结果好，并给出理论分析。 插值法 1. 已知，那么差商_________. 2. 阶差商与导数的关系是__________________. 3. 由导数和差商的关系知，=__________________。 4. 已知函数在的值分别是4，6，9，试构造Lagrange插值多项式。 5.取节点, 对应的函数值和导数值分别为 ，试建立不超过二次的插值多项式。(如果将最后一个条件改为，插值多项式如何计算？) 6．已知，试建立不超过3次的插值多项式，并写出插值余项. 7. 设,求三次多项式,使之满足插值条件 设是过的一次插值多项式，其中是包含的任一区间。试证明：对任一给定的，在（a,b）上总存在一点，使得。 9.证明关于互异节点的Lagrange插值基函数满足恒等式 上机习题： 绘制4题的Lagrange的插值函数的图像。 数据拟合 1. 数据拟合与插值的区别是什么？ 2. 最小二乘原理是使偏差的___________达到最小 3. 求过点（2,3），（0,1），（3,5）的线性拟合函数。 4. 用最小二乘法求一形如的多项式，使与下列数据相拟合 x 19 25 31 38 44 y 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8 线性方程组的直接解法 1. 线性方程组的解法大致可分为_____________，________________。 2. 平方根法和LDLT分解法要求系数矩阵A满足______________。 3. 上三角和下三角方程组的解法分别称为___________，____________。 4. 严格对角占优矩阵的定义是什么？ 5. 试求下面矩阵的杜利特尔分解 （1） 。 （2） 。 6. 用列主元高斯消去法求解方程组 。 7. 用LU分解法解方程组 。 上机实验题： 编程实现列主元的高斯消去法 编程实现LU分解法 线性方程组的迭代解法 1. 向量，计算，，. 2. A=，计算，，. 3. , 分别计算A的谱半径, 条件数， 4. 矩阵A的范数与谱半径的关系为__________________________。 5. 求解AX=b的迭代格式收敛的充分必要条件____________________。 6. SOR迭代法收敛的一个必要条件是松驰因子______________。 7. 写出下面方程的Jacobi迭代格式 8. 给定下列方程组，判断对它们构造的Jacobi迭代公式和Gauss-Seidel迭代公式是否收敛 （1） （2） 9. 对下列方程组建立收敛的简单迭代公式（提示：先调整方程组） 10. 给定方程组 ， （1）分别写出Jacobi迭代公式和Gauss-Seidel迭代公式。 （2）证明Jacobi迭代法收敛，而Gauss-Seidel迭代法发散。 上机实验题： 1. 求解方程组： 以为初值，当时迭代终止。 (1) 编写Jacobi迭