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第二章 线性方程组的直接解法 2 第三章 解线性方程组的迭代法 7 第五章 非线性方程和方程组的数值解法 10 第六章 插值法与数值微分 14 第七章 数据拟合与函数逼近 19 第八章 数值积分 23 第九章 常微分方程的数值解法 28 第二章 线性方程组的直接解法 1、用LU分解法求如下方程组的解 （1），（2） 解：（1） （2） 2、对4阶矩阵进行LU分解 解： 3、用高斯列主元素消去法解线性方程组 ① ② 解：对增广矩阵进行初等行变换 ① 同解方程组为 回代求解得 此种方法叫高斯消去法，下面用高斯列主元素消去法 得同解方程组 回代求解得 ② 得同解方程组 回代得 4、用Jordan消去法解矩阵方程，其中： ， 解：容易验证，故A可逆，有 .因此，写出方程组的增广矩阵，对其进行初等变换得 5、用LU分解法求解如下方程组 解： 第三章 解线性方程组的迭代法 1、 若Jacobi迭代收敛，求的范围 解：（1）、时的Jacobi迭代矩阵 Jacobi迭代收敛 （2）、Jacobi迭代矩阵 = Jacobi迭代收敛 2、讨论的Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代的收敛性 其中， 解：Jacobi迭代法的迭代矩阵 则 Jacobi迭代收敛 Gauss-Seidel迭代矩阵 Gauss-Seidel迭代发散 3、讨论下列迭代法的收敛性 ①的G-S迭代 ② 解：① ②，故B的谱半径，由迭代法收敛的充分必要条件知该迭代格式收敛 第五章 非线性方程和方程组的数值解法 1、给定函数，设对一切，存在且 证明：，迭代过程均收敛于的根 证明：的等价形式为 则对应的迭代函数 易证有根，故迭代过程收敛于的根 2、证明：所产生的序列收敛于的根 证：①考虑区间 所得序列收敛于的根 ②，将看作新的迭代初值，则由①知序列必收敛于的根 3、利用适当的迭代格式证明 证：考虑迭代式则 显然 记迭代函数 1° 2° 由迭代法的全局收敛定理（压缩映像原理）知 所产生序列收敛于的根 在上解方程得惟一根x=2。 4、研究求的牛顿公式 证明：对一切，且单调递减，从而收敛。 分析，令 由牛顿公式 证： 单调递减有下界，必收敛 5、设，应如何选取才能使迭代式具有局部收敛性 解：迭代格式 局部收敛，设迭代序列的极限值为，则有 得 当由局部收敛定理知 迭代格式局部收敛于 当由局部收敛定理知 迭代格式局部收敛于 6、给出计算的迭代公式，讨论迭代过程的收敛性并证明 解：令 其中，中有n条分数线 则： 令 显然， 我们不妨在上讨论迭代式的收敛性 ⅰ： ⅱ： ⅲ： 由全局收敛定理（压缩映像原理）所得序列必收敛于方程的根。 解方程得 即：第六章 插值法与数值微分 1、设，且，求证 证：以为插值节点进行线性插值，其插值多项式为 由插值余项定理 2、试构造一个三次Hermite插值多项式，使其满足： 解：（法一）首先构造如下的基函数表 函数值 导数值 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 则： （法二）：令 则 3、确定一个不高于四次的多项式H(x)，使得： 解：（法一）首先构造如下的基函数表 函数值 导数值 0 1 2 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 则： （法二）令 则 得 4、求三次多项式，使得 解：令 则 5、求一个次数3的多项式，使得，， 解：令 则 由（1）得 由（2）得 由（3）得 （5） 由（1）得 （6） 把、代入（5）、（6）得 、 6、给出概率积分的数据表如下： 0.46 0.47 0.48 0.49 0.484655 0.493745 0.502750 0.511668 试用拉格朗日插值法计算时，该积分值等于多少？ 解：记 将看成的函数，以为插值节点作的3次插值多项式: 当时，概率积分 7、利用在处函数值计算的近似值并估计误差. 解： 过点（100，10）、（121，11）、（144，12）， 令 则的二次Lagrange插值多项式 第七章 数据拟合与函数逼近 1、用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据相拟合 19 25 31 38 44