数值分析法求正弦余弦积分函数.doc

天津职业技术师范大学 课 程 设 计 任 务 书 理 学院 数学1403 班 学生 张群 课程设计课题： 用数值积分法计算正弦积分函数和余弦积分函数 一、课程设计工作日自 2016 年 7 月 4 日至 2016 年 7 月 5日 二、同组学生： 无 三、课程设计任务要求（包括课题来源、类型、目的和意义、基本要求、完成时间、主要参考资料等）： 课题来源：教师自拟 类型：理论研究 目的和意义：培养学生对数值分析中主要算法的应用能力，探索相关算法之间的内在联系。 基本要求：根据数值分析课程所学的知识，应用Matlab软件编写程序，完成对算法及其内在原理的实验研究。 完成时间： 参考资料：《数值分析》 李庆扬等 清华大学出版社 指导教师签字： 教研室主任签字： 一、问题叙述 用数值积分法计算正弦积分函数和余弦积分函数 提示：正弦积分，余弦函数 要求：（1）编写函数，对任意给定的x，可求出值。 （2）使用尽可能少的正余弦函数的调用，计算更精确的值。（用多种方法，创新方法） 问题分析 1 、数值积分基本原理：用数值分析求解积分的数值方法有很多，如简单的梯形法、矩形法、辛普森（Simpson）法、牛顿-科斯特（Newton-Cotes）法等都是常用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间[a，b]分成n个子区间[xi,xi+1]，i=1，2，…，n，其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。 本题要求用数值积分法计算正弦积分函数和余弦函数积分，那么应该从编写函数的入手，建立function的m文件，通过对函数的调用，对任意跟定的x值，求出积分函数的值。 数值积分法求解问题 1、 梯形公式、矩形公式 首先，积分中值定理告诉我们，在积分区间[a，b]内存在一点，成立dx=（b-a）f（），就是说，底为b-a而高为f（）的矩形面积恰等于所求区边梯形的面积。如果我们用两端点“高度”f（a）与f（b）的算术平均值作为平均高度f（）的近似值，这样导出的求积公式dx≈[f（a）+f（b）]便是我们熟悉的梯形公式。将积分区间[a,b]n等分，每个小区间宽度均为h=，h称为积布步长。记a=x0＜x1＜…＜xk…＜xo=b，在小区间上用小矩形面积近似小曲边梯形的面积,若分别取左端点和右端点的函数值为小矩形的高,得到两个曲边梯形面积的近似计算公式 x=linspace(0,pi); dx=x(2); y=sin(x); s1=sum(y)*dx s2=trapz(y)*dx sc1=cumsum(y)*dx; sc2=cumtrapz(y)*dx; plot(x,-cos(x)+1,x,sc1,.,x,sc2,o) hold on 由图可知这种方法精度太低，应选择其他方法。 2、quad函数、quan1函数 正弦：function y=si(t) a=1e-8; %函数在0点无界，去掉0点 y=quad(sin(x)./x,a,t) y=quadl(sin(x)./x,a,t) 余弦：function y=ci(t) a=-1e1; %函数在0点无界，去掉0点 y=quad(cos(x)./x,a,t) y=quadl(cos(x)./x,a,t) 图像: x=1:100; for i=1:100 y2(i)=si(x(i)); end plot(x,y2,r) title(辛普森) x=1:100; for i=1:100 y2(i)=ci(x(i)); end plot(x,y2,b) title(辛普森) 给定任意x值，均可计算出对应的正弦、余弦函数积分。但从结果