数字信号处理教案(第10次课).doc

第3章 离散傅里叶变换及其快速算法 §3.1 离散傅里叶变换（DFT） 为了便于更好地理解DFT的概念，先讨论周期序列及其离散傅里叶级数（DFS）表示。 §3.1.1 离散傅里叶级数（DFS） 一个周期为N的周期序列，即 ， k为任意整数，N为周期 周期序列不能进行Z变换，因为其在 n - 到+ 都周而复始永不衰减，即 z 平面上没有收敛域。但是，正象连续时间周期信号可用傅氏级数表达，周期序列也可用离散的傅氏级数来表示，也即用周期为N的正弦序列来表示。 周期为N的正弦序列其基频成分为： K次谐波序列为： 但离散级数所有谐波成分中只有N个是独立的，这是与连续傅氏级数的不同之处， 即 因此 将周期序列展成离散傅里叶级数时，只需取 k 0 到 N-1 这N个独立的谐波分量，所以一个周期序列的离散傅里叶级数只需包含这N个复指数， 利用正弦序列的周期性可求解系数 。 将上式两边乘以 ，并对一个周期求和 1 可求 N 次谐波的系数 2） 也是一个由 N 个独立谐波分量组成的傅立叶级数 3） 为周期序列，周期为N。 时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是一个周期序列。 是一个周期序列的离散傅里叶级数 DFS 变换对，这种对称关系可表为： 习惯上：记 DFS变换对公式表明，一个周期序列虽然是无穷长序列，但是只要知道它一个周期的内容（一个周期内信号的变化情况），其它的内容也就都知道了，所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是有用的，因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。 DFS的几个主要特性：1）线性2）序列移位?3）共轭对称性 4）周期卷积 若 则 或 由于DFS与IDFS的对称性，对周期序列乘积，存在着频域的周期卷积公式， 若 则 §3.1.2 离散傅里叶变换（DFT） 我们知道周期序列实际上只有有限个序列值有意义，因此它的许多特性可推广到有限长序列上。 一个有限长序列 x n ，长为N， 为了引用周期序列的概念，假定一个周期序列 ，它由长度为 N 的有限长序列 x n 延拓而成，它们的关系： 周期序列的主值区间与主值序列： 对于周期序列 ，定义其第一个周期 n 0~N-1，为 的“主值区间”，主值区间上的序列为主值序列 x n 。 x n 与 的关系可描述为： 数学表示： RN（n）为矩形序列，符号（（n））N 是余数运算表达式，表示 n 对 N 求余数。 频域上的主值区间与主值序列： 周期序列 的离散付氏级数 也是一个周期序列，也可给它定义一个主值区间 ，以及主值序列X k 。 数学表示： 长度为N的有限长序列 x n ，其离散傅里叶变换 X k 仍是一个长度为N 的有限长序列，它们的关系为： x n 与 X k 是一个有限长序列离散傅里叶变换对，已知 x n 就能唯一地确定 X k ，同样已知 X k 也就唯一地确定 x n ，实际上 x n 与 X k 都是长度为 N 的序列（复序列）都有N个独立值，因而具有等量的信息。 有限长序列隐含着周期性。 DFT特性： 1 ??线性 2 循环移位（3）循环卷积（4）有限长序列的线性卷积与循环卷积 （5）选频性 （对ω0有限制） 循环卷积过程: 1）由有限长序列 x n 、y n 构造周期序列 2）计算周期卷积 3）卷积 结果取主值