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LTMI_数列、不等式、归纳法_学案（课堂） 主备人：__顾天任_ 编号：__008__ 【本课概论】 数列是定义域为N*的函数值的集合。 基本不等式： 数学归纳法：若命题p在n=n0（一般取n0=1)时成立。且若假设n=k（kn0，k∈N*）时 p成立，可求得n=k+1时p成立，即可证得p对于任意n≥n0，n∈Z成立。 【应用】 数列：描述按照取值个数变化的函数或现实情况。 基本不等式：求函数最值、值域等 归纳法：证明递推型定理。 【知识点及习题剖析】 数列 数列的定义和表示方法 数列表示为一列数的集合，其中为定义在n∈N*上的函数，记作{} 数列的表示方法： ①列举法，如1,2,3,4,…… ②通项式，指数列函数关于n的直接解析式，如 ③递推式，指数列关于前若干项的函数，其中数列某几项的值已知。 如=，其中 注：通项式、递推式转列举法很容易，列举法转通项式和递推式有无穷种方法（不定） 通项式转递推式、递推式转通项式较难。数列不一定有通项式！ 例1：将通项式转化为列举式和递推式。 解：列举式将1,2,3,4代入即可：3,6,11,18，…… 递推式: 剖析：通项式转递推式即想办法在n的解析式中配出n-1的解析式。 例2：将递推式转为通项式。 解： 剖析：递推式转通项式有多种方法，较为繁琐，有时甚至根本不可行！ 一种常用的方法是下面将介绍的数学归纳法。 数列的基本知识。 ①数列分为有穷数列和无穷数列。即含有有限项的数列和无穷项的数列。 ②每一项大于前一项的数列称为递增数列，每一项小于前一项的数列称为递减数列。各项相 等的数列称为常数列。 ③无穷数列的敛散性。 对于无穷数列{an}，如果存在且等于k，则称数列{an}收敛于k，否则称数列发散。 例如：数列0.9，0.99，0.999……收敛于1，而数列1,2,3,4，……发散 ④无穷数列的有界性。 对于无穷数列{an}，如果对于任意n有，则称数列{an}有界，否则称数列无界。 例如：数列1,0,1,0,……有界，而数列0,ln(1),ln(2),ln(3),……无界 ⑤关于数列的敛散性和有界性，我们有： 收敛必有界，无界必发散。（顺序不能倒！） 例：写出一个始终＜5的无穷递增数列。 解：一个可行解为4.9，4.99，4.999，4.9999…… 剖析：上述数列收敛于5，因此必定小于5且单调递增。 另一解为此数列收敛于2. 实际上，我们有：递增（减）且有界的数列必收敛。 等差数列和等比数列。 ①等差数列及其性质。 定义等差数列为关于n∈N*的线性函数，即，其中d称为公差。 由定义可得， 即等差数列两相邻项之差为一常数。 等差数列的另一种常用通项式为，其中a1称为首项。 例：如果按顺序的三个数x,A,y组成等差数列，求证： 解：依等差数列定义，有 剖析：此项定理称为等差数列的判别式。A称为等差中项。若某一数列任意三个数x,A,y都 满足，则该数列为等差数列。若一数列为等差数列，则其中任意三邻项 x,A,y都满足。 ②等差数列的前缀和。 对于某一数列{an}，我们定义为数列{an}的前缀和。 当{an}为等差数列时，我们有： 即等差数列的前缀和等于首末项之和与项数乘积的一半。 例：已知，求证{an}是等差数列并求Sn最小时n的值。 解： 关于n成线性关系，所以{an}是等差数列； 考虑到公差d=40，因此使Sn最小的n必定为使an0的最后一个n（后面an都为正数 了，只会增加Sn），即4n-320，解得n8，即Sn最小时n=7； 剖析：数列定义域为N*，不能像一般函数一样考虑最值等问题，需使用数列的特殊方法。 已知前缀和求通项式通常使用作差法。 ③等比数列及其性质 定义等比数列为关于n的指数函数，其中q称为公比。 由定义得，为一常数，即等比数列相邻项之比为常数。 类似等差数列可证得，如果三个数x,G,y组成等比数列，则，G称为x,y的等比中项。注意：等比中项有正负2个！ ④等比数列的前缀和。 此即等比数列的前缀和公式。 由此可见，当|q|1时，等比数列前缀和Sn收敛且收敛于 当|q|≥1时，等比数列发散。 例：求数列9,99,999,9999……的前缀和。 解： 剖析：遇到不为等差（等比）数列求前缀和时，想办法将其化为等差（等比）数列再求前缀 和即可。 数列补充 ①Fibonacci数列：定义为递推式，边界。 写成列举法即为：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89，…… Fibonacci数列有