数学模型第三版(高等教育)课后习题答案.doc

《数学模型》作业解答 第七章（2008年12月4日） 对于7.1节蛛网模型讨论下列问题： （1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第时段的价格由第和第时段的数量和决定，如果仍设仍只取决于，给出稳定平衡的条件，并与7.1节的结果进行比较. （2）若除了由和决定之外，也由前两个时段的价格和确定.试分析稳定平衡的条件是否还会放宽. 解：（1）由题设条件可得需求函数、供应函数分别为： 在点附近用直线来近似曲线，得到 由（2）得 （1）代入（3）得 对应齐次方程的特征方程为 特征根为 当时，则有特征根在单位圆外，设，则 即平衡稳定的条件为与的结果一致. （2）此时需求函数、供应函数在处附近的直线近似表达式分别为： 由（5）得， 将（4）代入（6），得 对应齐次方程的特征方程为 代数方程（7）无正实根，且不是（7）的根.设（7）的三个非零根分别为，则 对（7）作变换： 则 其中 用卡丹公式： 其中 求出，从而得到，于是得到所有特征根的条件. 2．已知某商品在时段的数量和价格分别为和，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为和.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件. 解：已知商品的需求函数和供应函数分别为和. 设曲线和相交于点，在点附近可以用直线来近似表示曲线和： ----------------------（1） --------------------（2） 从上述两式中消去可得 ， -----------（3） 上述（3）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程. 为了寻求点稳定平衡条件，我们考虑（3）对应的齐次差分方程的特征方程： 容易算出其特征根为 ---------------（4） 当8时，显然有 -----------（5） 从而 2，在单位圆外．下面设，由(5)式可以算出 要使特征根均在单位圆内，即 ，必须 ． 故点稳定平衡条件为 ． 3． 已知某商品在时段的数量和价格分别为和，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为和.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件. 解：已知商品的需求函数和供应函数分别为和. 设曲线和相交于点，在点附近可以用直线来近似表示曲线和： --------------------（1） --- ----------------（2） 由（2）得 --------------------（3） （1）代入（3），可得 ， --------------（4） 上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程. 为了寻求点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程： 容易算出其特征根为 ---------------（4） 当8时，显然有 -----------（5） 从而 2，在单位圆外．下面设，由(5)式可以算出 要使特征根均在单位圆内，即 ，必须 ． 故点稳定平衡条件为 ． 《数学模型》作业解答 第八章（2008年12月9日） 证明8.1节层次分析模型中定义的阶一致阵有下列性质： （1） 的秩为1，唯一非零特征根为； （2） 的任一列向量都是对应于的特征向量. 证明： （1）由一致阵的定义知：满足 ， 于是对于任意两列，有，.即列与列对应分量成比例. 从而对作初等行变换可得： B 这里.，从而秩 再根据初等行变换与初等矩阵的关系知：存在一个可逆阵，使，于是 C 易知C的特征根为（只有一个非零特征根）. 又～，与C有相同的特征根，从而A的非零特征根为，又对于任意矩阵有.故A的唯一非零特征根为. （2）对于A的任一列向量， 有 的任一列向量都是对应于的特征向量. 7. 右下图是5位网球选手循环赛的结果，作为竞赛图，它是双向连通的吗？找出几条完全路径，用适当方法排出5位选手的名次. 解：这个5阶竞赛图是一个5阶有向Hamilton图.其一个有向Hamilton圈为3.所以此竞赛图是双向连通的. 等都是完全路径. 此竞赛图的邻接矩阵为 令，各级得分向量为 ， ， ， 由