方阵最小多项式的求法与应用.doc

方阵最小多项式的求法与应用 [摘要]:本文首先介绍了方阵的最小多项式，进而给出了最小多项式的四种求法，最后讨论了最小多项式的两个应用. [关键词]:方阵；最小多项式；不变因子 Minimal polynomial of a square matrix and its applications FENG Yu-xiang (Class 1, Grade 2001, College of Mathematics and Information Science) Advisor: Associate Prof. LI Zhi-hui [Abstract]:The minimal polynomial of square matrix is discussed, and four methods of solution for the minimal polynomial are presented. Further more ,the applications of the minimal polynomial are studied. [Keywords]: square matrix; minimal polynomial; invariant operation 一、引言 文献[1]中研究了方阵最小多项式的若干性质，并给出最小多项式的三种求法.本文试图通过对文献[1]中的结果进一步研究，给出它相应的改进算法，并提出一种新的求法.与此同时，讨论了最小多项式在矩阵的相关计算和证明中的应用，为最小多项式的应用提供了新的思想. 本文所讨论的矩阵和多项式均为复数域上n阶方阵和多项式. 二 、最小多项式的性质及求法 由哈密尔顿定理可知，对于一n阶矩阵 ，是的特征多项式，则 即就是任给数域上的一个级矩阵，总可以找到数域上的多项式，使得.如果多项式使得，我们就称为矩阵的零化多项式.当然的零化多项式很多的，于是我们有 定义1 设，次数最低的首项为1的的零化多项式称为的最小多项式，记为. 最小多项式有以下一些基本性质： 定理1[1] 设，则 （1）的任一零化多项式都能被整除； （2）的最小多项式是唯一的； （3）相似矩阵最小多项式相同. 2．1 由特征多项式求最小多项式 定理2[1] 是的特征多项式零点的充分条件是为的最小多项式的零点. 证明：见参考文献[1]. 推论1 若阶方阵的特征多项式被分解为不同的一次因式方幂的乘积： ， 其中是的相异的特征值，是特征值的重数，且则的最小多项式具有如下形式： ， 其中为正整数. 推论1实际上给出了由方阵的特征多项式，求最小多项式的方法. 例1 求矩阵 的最小多项式. 解：因为的特征多项式为，根据推论1便可知，的最小多项式有以下两种可能： （）（）， 由于 因此，的最小多项式为. 有时在分解时比较困难，但由推论1可知，的最小多项式实质包含A的特征多项式中的所有不同的一次因式之积，故可先求出 例2 求矩阵 的最小多项式. 解：= 由辗转相除法求得 于是 == 于是 的最小多项式有以下三种可能： 而 ， 因此的最小多项式为. 2．2 按最小多项式的定义及存在性求最小多项式 定理3[1] 任意 阶矩阵都存在最小多项式. 证明：参见文献[1]. 这个定理告诉我们一种求最小多项式的方法，这种方法的步骤是： 第一步 试解 若能解出，则的最小多项式为 ； 若关于无解，则做 第二步 试解 若能解出与，则的最小多项式为 若不能解出与，则做 第三步 试解 若能解出，与，则的最小多项式为 若不能解出，与，则再做 第四步 试解 等等，直到求出（使矩阵方程成立为止（由哈密尔顿---凯莱定理，这样的过程最多只有步即可终止），这时用代替，便得到所求最小多项式. 求矩阵 的最小多项式. 解：（1）试解 ，显然关于无解. （2）试解 写出方程两边的矩阵，并选择某行（某列）来求解代数方程组，以此求和，例如，比较第一行（3，2，0，-1）；的第一行为（），从而的方程组 此方程组显然无解. （3）试解 写出防城两边的