03第三节逆矩阵.doc

第三节 逆矩阵 内容分布图示 ★ 引例 ★ 逆矩阵的定义 ★ 例1 ★ 例２ ★ 例３ ★ 伴随矩阵 ★ 例4 ★ 逆矩阵与伴随矩阵的关系 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 逆矩阵的运算性质 ★ 矩阵方程 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 例14 ★ 例15 ★ *矩阵多项式及其运算 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题2-3 ★ 返回 内容要点： 一、逆矩阵的概念 在数的运算中, 对于数 总存在唯一一个数,使得 数的逆在解方程中起着重要作用，例如，解一元线性方程 当时，其解为 对一个矩阵，是否也存在类似的运算？在回答这个问题之前，我们先引入可逆矩阵与逆矩阵的概念. 定义1 对于阶矩阵,如果存在一个阶矩阵,使得 则称矩阵为可逆矩阵,而矩阵称为的逆矩阵. 命题 若矩阵是可逆的, 则的逆矩阵是唯一的. 定义2 如果阶矩阵的行列式,则称为非奇导的,否则称为奇异的. 二、伴随矩阵及其与逆矩阵的关系 定义3 行列式的各个元素的代数余子式所构成的矩阵 . 称为矩阵的伴随矩阵. 定理1 阶矩阵可逆的充分必要条件是其行列式. 且当可逆时, 有 其中为的伴随矩阵. 由定理证明得伴随矩阵的一个基本性质 推论 若(或), 则. 三、逆矩阵的运算性质 (1) 若矩阵可逆, 则也可逆, 且 (2) 若矩阵可逆,数 则 ; (3) 两个同阶矩阵可逆矩阵,的乘积是可逆矩阵, 且 (4) 若矩阵可逆, 则也可逆, 且有 (5) 若矩阵可逆, 则. 四、矩阵方程 对标准矩阵方程 利用矩阵乘法的运算规律和逆矩阵的运算性质, 通过在方程两边左乘或右乘相应的矩阵的逆矩阵, 可求出其解分别为 而其它形式的矩阵方程, 则可通过矩阵的有关运算性质转化为标准矩阵方程后进行求解. 五、矩阵多项式及其运算 设为的次多项式, 为阶矩阵, 记 称为矩阵的次多项式. 因为矩阵和都是可交换的,所以矩阵的两个多项式和总是可交换的, 即总有 从而的几个多项式可以像数的多项式一样相乘或分解因式. 例如 (1) 如果 则 从而 (2) 如果为对角阵, 则 从而 例题选讲： 逆矩阵的概念 例1 设 求A的逆矩阵. 例2 证明列矩阵A无逆矩阵: 例3 (讲义例1) 如果 其中. 试验证 伴随矩阵及其与逆矩阵的关系 例4 (讲义例2) 设矩阵求矩阵的伴随矩阵. 例5 设均为n阶矩阵, 且满足则下式中哪些必定成立, 理由是什么? 例6 (讲义例3) 求例4中矩阵的逆矩阵. 例7 求的逆阵. 例8 (讲义例4) 已知 试用伴随矩阵法求. 矩阵方程 例9设有线性方程组: (1) 假定这个方程组的系数矩阵为A, 则方程组可改写为 (2) 其中 当时, 存在. 用左乘(2)式得 即 例10 (讲义例5) 设是同阶矩阵, 且A可逆, 下列结论如果正确, 试证明之, 如果不正确, 试举反例说明之. (1) 若 则 (2) 若 则 例11 (讲义例6) 设 求矩阵X使满足 例12 设矩阵满足 其中为的伴随矩阵, 为单位矩阵, 求矩阵 例13 设 求 例14 (讲义例7) 设方阵A满足方程 证明A为可逆矩阵, 并求 (为常数, ). 例15 设三阶矩阵A, B满足关系: 且 , 求B. 课堂练习 1.求方阵的逆矩阵. 2.设是同阶矩阵, 且A可逆, 下列结论如果正确, 试证明之, 如果不正确, 试举反例说明之. (1) 若 则 (2) 若 则 3. 求解矩阵方程