含参数问题回避类讨论的技巧(老师版).doc

含参数问题回避分类讨论的技巧 分类讨论思想是一种重要的数学思想，它对于培养学生思维的条理性和深刻性有着重要的作用，能体现“着重考察数学思维能力”的要求，备受命题者的青睐. 但分类讨论问题覆盖的知识面广，具有较强的逻辑性、综合性、探究性的特点. 但有些分类讨论问题，若能认真地挖掘问题内在的特殊性，灵活运用解题策略和方法，有时简化或避免分类讨论，使解题过程简捷且降低了问题的难度，提高了解题的效率，下面介绍几种回避分类讨论的技巧. 挖掘隐含条件，回避分类讨论 在含有参数的不等式中，参数的范围一般不直接给出而隐含与问题之中，解题时应仔细全面观察，挖掘题目中的隐含条件，回避繁琐的分类讨论，是问题简单化. 例1、已知二次函数，是否存在实数，使的定义域和值域分别是和？如果存在，求出的值；若不存在，说明理由. 分析：本题可根据二次函数的对称轴与区间的相对位置关系进行讨论，但若注意到，可得.所以.故二次函数在区间上单调递增，从而可以避免分类讨论. 所以有 ，所以 例2、在区间内恒有，则的单调递增区间是（ ）. A、 B、 C、 D、 分析：本题常规思维是分和两种情况讨论，但注意到函数在区间上的值域是，即而已知在区间内恒有，可知，所以函数的单调递增区间是 二、分离参数变量，回避分类讨论 在含有参数的方程或不等式中，若能通过适当的变形，使方程或不等式的一端只含有参数的解析式，另一端是无参数的主变量函数，下面只需解决有关函数的至于问题，回避繁琐的分类讨论，从而是问题简单化. 例3、若不等式对于一切成立，则 的最小值是（ ）. A、0 B、 C、 D、 分析：本题常规可根据二次函数的对称轴与区间的相对位置关系进行讨论，但本题可利用分离变量的方法，避免繁琐的分类讨论. 因为不等式对于一切成立，所以，可知的最小值是函数在上的最大值. 易知的最小值是. 例4、已知定义在上的函数，当为何值时，函数在上有零点. 分析：本题常规思维，函数在上有零点，即方程在有解. 可得：在有解，可令，， 则在有解，可利用一元二次方程根的分布知识分类讨论求解. 但本题可利用分离变量的方法，使问题大大简化. 因为函数在上有零点，即方程在有解. 所以求的范围可转化为求函数在上的值域问题，因为，，根据函数的单调性可知函数在上的值域为， 所以，函数在上有零点. 三、巧用图像，回避分类讨论 对某些分类讨论问题，可利用题设条件具有的某种特殊数量关系或图形具备的某种特点，构造满足题设条件的特殊图形，进行数形结合，可起到简化讨论的作用. 例5、已知（）在区间上是增函数. 求实数的取值范围. 分析：，因为在区间上是增函数， 所以对 恒成立，即对 恒成立， 下面可对和两种情况进行分类讨论，但本题可构造二次函数，根据函数图象如图： 若对 恒成立，则只要满足 ， 即可. 即 解得. 故实数的取值范围是. 例6、已知且，试求式方程有解的实数的取值范围. 分析：原方程等价于， 若就此展开讨论则情形多而且复杂，不妨用数形结合 的思想构造曲线，， 从而转化为直线与双曲线 在上半平面内有交点，求实数的取值范围， 如图易求得：或 四、调换主元，回避分类讨论 矛盾的双方既对立又统一，在一定的条件下是可以转化的，对于存在两个或两个以上变量的数学问题，若我们能打破思维定势，换一个角度，调换主元，转变方位，以“参数”反客为主，常常能回避讨论，可得到意想不到的效果，使问题能更迅速得已解决. 例7、已知函数.证明：对任意都存在，使得成立. 分析：常规思维，令，，由得：. 下面可对分和两种情况进行分类讨论，可以求解但很麻烦，本题可调换主元，以参数反客为主，从而避免繁琐的分类讨论. 因为，所以， 若，即， 令，若对任意使得成立， 即恒成立，则需要 ， 解得所以命题成立. 例8、已知在区间上是增函数. 设关于的方程的两个非零实数根为，试问：是否存在实数，使得不等式对任意及恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 分析：由，得，因为，所以是方程的两个非零实数根，所以 ， 从而. 因为，所以 要是不等式对任意及恒成立， 当且仅当对任意恒成立，即对任意恒成立， 设，