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概率模型及其模拟 1. 随机变量及其概率分布 样本点?：随机试验的可能结果 称全体样本点组成的集合为样本空间, 记为 ? 随机事件A：样本空间中的子集 A ?? 随机变量? ：在?上定义的实值函数 ?： ? ? ? (?) 满足： {? ? ? ; ? (?) x}?F, ? x?R。 离散型： ? ?{ak ；k=1,2,…,n}, 连续型： ? ?(a, b) . 随机变量的概率分布函数： F(x):=P{? x} 离散型： 为离散随机变量 ? 的分布列, 分布函数为F(x)=P{? x}= ?akx pk 连续型 p(x) 为随机变量 ? 的分布密度, 分布函数为 随机变量的数字特征： 期望：大多数随机变量集中（出现）的位置。 方差：随机变量偏离期望（均值）值的程度。 Kolmogorov强大数定律： 设?k是互相独立的随机变量，且? D?k /k2 ?， 则 1/n?(?k - E ?k)?0 Linderberg-Levy中心极限定理： 设?k是独立同分布的随机变量，E?k =a, D?k =?2 ( 0? ? ) 。则对充分大的n，随机变量 1/n? ?k 近似满足均值为a方差为? 2 /n的正态分布. 2. 几类常见的概率分布 两点分布 二项分布。 泊松分布 ?: 在单位时间间隔内随机事件 发生的次数.（已知单位时间内平均发生的次数为?.） 注：满足独立增量、平稳性、普通性的随机过程）在时间区间[0,t)内随机事件发生的次数?t服从泊松分布，称为泊松过程 指数分布 泊松过程的随机事件陆续发生的时间间隔， (已知平均时间间隔为1/?) 均匀分布 离散的均匀分布 连续的均匀分布 正态分布 许多偶然因素作用结果的总和。 (已知均值为?，方差为 ?） 3 概率模型 问题1 在一个简单的掷骰子的游戏中，同时投掷两个骰子，庄家将按照两个骰子所示的点数付给你同等面值的人民币（元）。要付多少钱你才愿意玩这个游戏？ 注： EX=2*1/36+3*2/36+4*3/36+5*4/36+6*5/36 +7*6/36+8*5/36+9*4/36+9*4/36+10*3/36 +11*2/36+12*1/36=7 例1 次品检验费用 一个电子器件工厂生产二极管。估计生产的二极管有0.3%是次品。已知检验一个单个的二极管的花费是5分钱，检验一组 n 1个二极管的花费是4+n 分钱。如果成组检验没有通过，则这一组的每一个二极管必须逐个重新检验以便于找出这些次品。设计检测次品二极管的一个方案，使得用于检验的花费最少。 假设： 1. 分组检验时每组二极管个数相同。 2. 每个二极管是次品的事件是独立的。 参量与变量 n ： 每个检验组内二极管的数目（决策变量） C ：一组元件的检验费用（分）（随机变量） A ： 平均检验费用（分/个） q ：一个二极管为次品的概率 注意：A = (C 的平均值)/ n 目标: 求 n 的数值, 使 A 最小 结论：在次品的二极管出现得很少，每一千的中只有三个的前提下，采用分组检验次品二极管的方法非常经济。逐个检验的花费是 5 分/个。使用每一组 17 个二极管串联起来分组化验，在不影响质量的前提下可以将检验的费用降低到三分之一，花费只有1.5 分/个。 灵敏度分析： 1. 也许由于我们操作的特殊性对于10个或20个一批的二极管或者 n 是 4 或 5 的倍数时检验起来更容易。 验证：在 n = 10 和 n = 35 之间时检验的平均花费 A 没有明显的变化。 2. 在检验过程中的次品率 q = 0.003 同样也是必须考虑的。这个数值可能会发生变化。 一般模型 A=4/n+6– 5 (1 – q)n 当n=17时，A对q的灵敏性 S(A,q)=0.16 所以，q 的微小的改变不会导致检验费用大的变化。 稳健性分析： 稳健性分析要考虑模型的假设。 我们这里必需要假设在操作过程中接连出现次品的次数之间是无关的。 事实上，有可能由于生产环境中的一些异常的原因，如工作台的颤动或电压变化的冲击，使得次品的二极管趋向于出现在一些批次中。 这时，独立随机变量模型的数学分析就不能完全处理这个问题。 有关稳健性的问题是当前概率论研