(ppt)概率论第三章.ppt

第三章 随机变量及其分布 一、 随机变量的概念 定义2.1.1 设 S ={e}为某随机现象的样本空间， 称定义在S上的实值函数X=X(e)为随机变量. 简记为：r.v. X 例： (1) 掷一颗骰子， 出现的点数 X 1，2，……，6. (2) n个产品中的不合格品个数 Y 0，1，2，……，n (3) 某商场一天内来的顾客数 Z 0，1，2，…… (4) 某种型号电视机的寿命 T : [0, +?) 注 意 点 例 检测一件产品可能出现的两个结果 , 也可以用一个离散变量来描述 两类随机变量 若随机变量 X 可能取值的个数为有限个或 可列个，则称 X 为离散随机变量. 若随机变量 X 的可能取值充满某个区间 [a, b]，则称 X 为连续随机变量. 前例中的 X, Y, Z 为离散随机变量； 而 T 为连续随机变量. 基本性质： (1) F(x) 单调不降； (2) 有界：0?F(x)?1，F(??)=0，F(+?)=1； (3) 右连续.F(x0+0)=F(x0) 用分布函数计算 X 落在( a ,b ]里的概率： P(aXb)= 三、 离散随机变量的分布列 设离散随机变量 X 的可能取值为： x1，x2，……，xn，…… 称 pi=P(X=xi)， i =1, 2, …… 为 X 的分布列. 分布列也可用表格形式表示： 分布列的基本性质 (1) pi ? 0， (2) 注 意 点 (1) 注 意 点 (2) 例： 已知 X 的分布列如下： 例： 已知 X 的分布函数如下,求 X 的分布列. 例： 袋内有5个黑球3个白球,每次抽取一个不放回,直到取得黑球为至。记X为取到白球的数目,Y为抽取次数，求X、Y的概率分布及至少抽取3次的概率。 解(1)X的可能取值为0,1,2,3, P(X=0)=5/8, P(X=1)=(3/8)×(5/7)=15/56, P(X=2)=(3/8)×(2/7)×(5/6)=5/56, P(X=3)=1/56, 所以,X的概率分布为 (2) Y的可能取值为1,2,3,4, P(Y=1)=5/8, P(Y=2)=P(X=1)=15/56, P(Y=3)=P(X=2)=5/56, P(Y=4)=P(X=3)=1/56, 所以Y的概率分布为 四、 连续随机变量的密度函数 连续随机变量X的可能取值充满某个区间 (a, b). 因为对连续随机变量X，有P(X=x)=0， 所以无法仿离散随机变量用 P(X=x) 来描述连续随机变量X的分布. 注意离散随机变量与连续随机变量的差别. (1)当△x=1，体重的频率直方 图见图(a)，注意图中矩形宽 度为1，高度为频率，所以所 有矩形面积之和为1.此时体重 X的取值为1,2,…,即X是一个 离散随机变量。 (2)当△x=0.1，体重的频率直 方图见图(b)，注意图中矩形 宽度为0.1，高度：频率/0.1， 所以所有小矩形面积之和仍为1. 则以上图的（a）至（c）表明：当△x越 来越小的时候，其频率直方图形越来越 光滑。 且图(c)中此时体重X的取值充满了某一 区间，即X是一个连续随机变量，图中 f(x)就是连续随机变量X的概率密度函数. 求离散随机变量的分布列应注意： (1) 确定随机变量的所有可能取值; (2) 计算每个取值点的概率. 对离散随机变量的分布函数应注意： (1) F(x)是递增的阶梯函数; (2) 其间断点均为右连续的; (3) 其间断点即为X的可能取值点; (4) 其间断点的跳跃高度是对应的概率值. 的分布函数图 X 0 1 2 P 1/3 1/6 1/2 求 X 的分布函数. 解： X 0 1 2 P 0.4 0.4 0.2 解： 5/56 2 1/56 15/56 5/8 p 3 1 0 X Y 1 2 3 4 P 5/8 15/56 5/56 1/56 (3) P(Y≥3)=P(Y=3)+P(Y=4)=6/56 引例：新生婴儿的体重X是一个随机变