专题：函数的奇性讲义(教师用).doc

函数的奇偶性 一、函数奇偶性 ＝的定义域为，如果对于内任意一个，都有，且＝－奇＝的定义域为，如果对于内任意一个，都有，且＝奇函数的图象关于原点对称偶函数的图象关于轴函数的定义域是关于原点的对称点集（即对就有－），是其具有奇偶性的必要条件在公共定义域内：偶函数的和、差、积、商均为偶函数；奇函数的和、差是奇函数，积、 商是偶函数； 偶函数与奇函数的积、商是奇函数的对称性和变换中的等价性． 若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性和合理性． 4.定义在关于原点的对称点集上的任意函数，总可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和即＝＋其中＝为偶函数， ＝为奇函数的图象关于直线对称，则； 提 示 对任意实数x都成立 若函数的图象关于点对称，则； 三、典型例题精讲 ［例1］（1）函数＝ 的图象( ) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线x＝1对称 解析：由， ∴ ＝ ＝ ＝－是奇函数，图象关于原点对称． 答案：C 【技巧提示】　用定义判定函数的奇偶性奇偶的奇偶性时， ＝＝； 当时， ＝＝ ∴　是奇函数． ［例2］已知是偶函数而且在(0，＋∞)上是减函数，判断在(－∞，0)上的增减性并加以证明． 解析：函数在(－∞，0）上是增函数． 设x1＜x2＜0，因为是偶函数，所以＝，＝， 由假设可知－x1＞－x2＞0，又已知在(0，＋∞)上是减函数，于是有＜， 即＜，由此可知，函数在(－∞，0)上是增函数． 【技巧提示】　具有奇偶性关于原点的对称偶定义在区间为增函数，偶函数在区间的图象与的图象重合，设＞＞0，给出下列不等式： （1）f()－f(－)＞g()－g(－)；（2）f()－f(－)＜g()－g(－)； （3）f()－f(－)＞g()－g(－)；（4）f()－f(－)g()－g(－)． 　其中成立的是 A． (1)与(4)　　 (2)与(3)　　 (1)与(3)　　 (2)与(4) 、的奇偶性将四个不等式化简，得： （1）f()f()＞g()－g()；（2）f()f()＜g()－g()； （3）f()f()＞g()－g()；（4）f()f()＜g()－g()． ＝＞＞．显然（1）、（3）正确，故选C． 【技巧提示】　　具有奇偶性在定义域为R，且在（－∞，0]上单调递减，求满足＞ 的的集合． 解析：偶函数在（－∞，0]上单调递减，在［0，＋∞）上单调递增． 根据图象的对称性，＞等价于 ＞． 解之，， ∴　满足条件的的集合为（－1，＋∞）． ［例4］设是(－∞，＋∞)上的奇函数，＝－，当0≤x≤1时，＝，则等于( ) A．0.5 B． －0.5 C． 1.5 D． －1.5 解析：＝＝－＝－＝＝ ＝－＝－＝＝－＝－0.5． 答案：B 【技巧提示】 这里反复利用了＝－和＝－，后 面的学习我们会知道这样的函数具有周期性． 又例：如果函数在R上为奇函数，且在(－1，0)上是增函数，试比较，，的大小关系_________． 解析：∵为R上的奇函数， ∴ ＝－，＝－，＝－，又在(－1，0)上是增函数且－＞－＞－1． ∴ ＞＞，∴ ＜＜． 答案：＜＜． ［例5］函数＝，且满足对于任意，有 （1）的值； （2）函数的奇偶性，并，得； （2）令，得，令，得 ∴ ，即为偶函数． 【技巧提示】　　赋值法是解决抽象函数问题的切入点．常赋值有0，1，―1，2，―2，等等． ［例6］已知函数在(－1，1)上有定义，＝－1，当且仅当0＜x＜1时＜0，且对任意x、y∈(－1，1)都有＋＝，试证明： (1) 为奇函数；(2) 在(－1，1)上单调递减． 证明：(1) 由＋＝，令x＝y＝0，得＝0， 令y＝－x，得＋＝＝＝0，∴　＝－， ∴为奇函数． (2)先证在(0，1)上单调递减． 令0＜x1＜x2＜1，则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f() ∵0＜x1＜x2＜1，∴x2－x1＞0，1－x1x2＞0，∴＞0， 又(x2－x1)－(1－x2x1)＝(x2－1)(x1+1)＜0 ∴x2－x1＜1－x2x1， ∴0＜＜1，由题意知f()＜0， 即f(x2)＜f(x1)．∴　在(0，1)上为减函数，又为奇函数且f(0)＝0． ∴　在(－1，1)上为减函数． 【技巧提示】　这种抽象函数问题，往往需要赋值后求特殊的函数值，如等等，一般的求解最为常见．赋值技巧常为令或等。本例中第一问求解特殊函数值的过程中就采用了这两个技巧；对于(2)，判定　　的范围是解题的焦点． 四、练习 1.函数①　 ②　　③　④ ⑤　⑥　　　⑦ 上述函数中为奇函数的是