从一个课本习题谈高考复习策略.doc

从一个课本习题组谈高考复习策略 浙江省象山县第二中学 葛海燕 315731 每年由课本习题改编或改造的高考题都不在少数,依托于新课程的新高考也将如此,因此吃透新教材肯定是应对新高考的有效策略之一。课本如同一块压缩饼干，其中蕴涵丰富的基础知识和思想方法。课本中的例习题好象无多少深度，其实不然，其实每一道例习题都有一定的典型性、代表性。用好课本，充分运用课本中的一些典型例习题，研究其内涵与解法，进行挖掘、举一反三，推陈出新，让课本成为学生领悟思想方法的“源头活水”，对掌握一类知识间内在联系与灵活运用，对培养学生的发散思维与创新能力，具有极好的数学教育价值与训练功能。这里举一个题组,希望通过探究这个题组与高考试题的联系得到一些启发，从而采取一些有效的高考复习策略。 题组中的每道题都原自人教版的普通高中课程标准实验教科书。题目如下： 购房问题：（普通高中课程标准实验教科书，数学必修5第70页） 某家庭打算在2010年的年底花40万元购一套商品房，为此，计划从2004年初开始，每年年初存入一笔购房专用存款，使这笔款到2010年底连本带息共有40万元。如果每年的存款数额相同，依年利息并按复利计算，问每年应存入多少钱？ 投资问题：（普通高中课程标准实验教科书，数学必修5第77页）某牛奶厂2002年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到。每年年底扣除下一年的消费基金后，剩余资金投入再生产。这家牛奶厂每年应扣除多少消费基金，才能实现经过5年资金达到2000万元的目标（精确到万元）？ 河内塔谜问题：普通高中课程标准实验教科书《数学选修1-2》第31页 选菜问题：（普通高中课程标准实验教科书，数学必修5第77页） 学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有两种菜可供选择。调查资料表明，凡是这星期一选种菜的，下星期一会有改选种菜；而选种菜的，下星期一会有改选种菜。用分别表示在第个星期选的人数和选的人数，如果，求 多题归一，探究实质 分析：这些问题的模型都是数列问题，下从递推公式的角度探究其实质。 设每年应存入元，2004年为第一年，第年底的本息和为， 则可得到， 进一步可求得通项公式 由题意知，，代入上式即可求得的值 设每年应扣除消费基金万元，2002年为第1年，第年扣除消费基金后的资金为万元，则可得到 进一步可求得通项公式 由题意知，，代入上式即可求得的值 （3） 设个圆盘从一根柱子搬到另一根柱子所需的最少次数为， 则，进而可求得的通项公式 （4） 所以，把代入左式，即可求得通项公式 上述题目似乎背景各不相同，实际上都可转化为求一阶常系数递推数列的通项公式，一阶常系数递推数列即是通项公式满足如下条件的数列：（*），（其中为常数）。在新教材中我们可以找出许多类似的题组，分布在同一模块或不同模块中，它们既相互独立又相互联系，由某个知识点或思想方法把它们有机地串在一起.。它们既能帮助学生认识所学的某个知识点，又能够使学生用此知识点去认识和解决其他问题，并且可以形成一个知识网络。“多题归一”能帮助学生透过事物的表面现象认识问题的实质及相互关系，正确揭示现象背后的规律，从复杂多变的现象中追求根源，从而提高思维的深刻性。 一题多解，发散思维 当时，数列从第二项起每一项都是常数；当时，数列为等差数列；当且时，数列为等比数列；当时，的各项均为，即一常数数列；下讨论当时数列通项公式的求法和其中蕴涵的思想方法。 解法一： ，， … 我们猜想： 下用数学归纳法证明猜想。（略） 上述解法运用了归纳思想方法，即“由特殊到一般”。这种方法经常能帮助我们探索、发现新事实，获得新结论。如著名的费尔马猜想、歌德巴赫猜想等都是经典例证。我们用归纳法解题的一般模式是：“特例+归纳猜想+证明”，数学归纳法是解决一些与自然数有关的问题时常用的方法。 解法二： 分析：当时， … 上述解法运用了叠代法，蕴含了演绎推理的思想方法，即“由一般到特殊”，它与归纳法的思维方向恰恰相反。 解法三： 分析：设，展开比较系数可得：， 所以，则数列是以为首项，以为公比的等比数列，，即 上述解法通常称待定系数法，思路来源于等比数列定义的变式：。等差、等比数列是最基本的数列，这种方法把该数列转化为等比数列，体现了化归思想。 解法四： 分析：在式子两边同除以可得，即 则，，，…， 把以上各式相加可得： 所以，化简得： 方法五：阶差法 由已知递推关系式可得： ，，， ??，， 将以上个等式两边依次同乘以1，，…，得 ，，， ?? ， 再将所得各等式左右两边分别相加,得 从而求得： 方法四和方法五的思路均来源于等差数列