初三数学数学总习系列 圆(一)_609.doc

圆 综合练习 【例题精选】： 例1、已知PA切⊙O于A, AB(OP于B, PO = 12cm, OB = 3cm, 求PA长。 分析: 因为有PA切⊙O于A, 根据切线的性质, 切线垂直于过切点的半径, 可以得到直角三角形, 又因为AB(PO于B, 可以利用相似三角形的知识去进行计算, 再利用直角三角形去计算。 解: 连接OA ∵PA切⊙O于A, ∴OA(PA于A, (PAO = 90( 又∵AB(OP于B ∴ABO∽AOP ∴OA2 = OB·PO ∴OA2 = 3×12 ∴OA = 6 在RtAPO中 说明: 有切线时, 经常加的辅助线是连切点与圆心, 也常利用直角三角形中的有关知识, 利用相似形的知识进行计算。 例2、PA切⊙O于A, 过O的割线PO交⊙O于B, PA = , PB = 2, 求⊙O的半径。 分析: 图中有圆O的切线, 则可做过切点的半径, 则有直角三角形中的关系, 可设半径为x, 那么其它各直角边可用含有x的式子表示, 再利用方程思想, 找到等量关系列出方程, 可以求出未知数的值。 解: 连接OA, ∵PA切⊙O于A, ∴OA(PA 设⊙O的半径为R ∵PB = 2, 则PO = 2 + R 在RtPAO中, ∴ ∴ 解得R = 4 ∴圆的半径为4 说明: 方程思想是一种重要的数学思想, 将已知数, 未知数找到等量关系, 列出方程, 求出未知数的值, 要学会构通已知与未知的联系, 利用方程思想考虑问题。 例3、已知OA为⊙O的半径, C是⊙O上一点, CD(OA于D, B是OA延长线上一点, CA平分(BCD, 求证: BC是⊙O的切线。 分析: 要证BC是⊙O的切线, 根据判定定理可以证BC是切线, 因为圆上有点, 属于圆上有点, 可以连结圆心与圆上点, 证明垂直。 证明: 连结OC, ∵CA平分(BCD, (BCA = (ACD, ∵OA = OC, ∴(OAC = (OCA, ∵CD(AO于D ∴(OAC + (2 = 90( 又∵(1 = (2 ∴(1 + (OCA = 90( ∴OC(BC ∴BC为⊙O的切线。 说明: 切线的判定要看所证直线是否与圆有交点, 当有交点时, 可以用判定定理证, 因此辅助线是连接圆心与已知点, 再证明垂直关系, 若没有已知点时, 可以做垂线, 证明垂线长等于圆的半径, 即利用圆心到直线距离等于半径而判定直线与圆相切。 例4、已知ABC的内切圆分别与AB、BC、AC内切于D、E、F, (A = 60(, BC = 6, ABC 周长为16, 求DF。 分析: 已知条件中知⊙O与三角形三边相切, 切点为D, E, F, 已知ABC周长为16, 求的DF线段要找到与三角形其它边的关系。可以由切线长定理找到关系。 解: ∵AB切⊙O于D, AC切⊙O于F, ∴AD = AF, 又∵(A = 60( ∴ADF为等边三角形 ∴AD = DF = AF 又∵⊙O为ABC的内切圆 AB, BC, AC切⊙O于D, E, F ∴BD = BE, CF = CE 又∵AB + BC + AC = 16 ∴AD + BD + AF + FC + 6 = 16 ∴2DF + BD + FC = 10 ∴2DF + BE + EC = 10 ∴2DF = 4 ∴DF = 2 例5、直角三角形的两直角边长为a, b, 求直角三角形的内切圆半径。 分析: 直角三角形的内切圆半径与三边都垂直, 可以利用面积的求法去求内切圆的半径, 也可以由切线长定理分析边之间的关系而求。特别要能观察到的图形是从圆心向两条直角边所引的垂线段中, 构成一个正方形的图形, 这对找到内切圆半径与边的关系也很重要。 解法一: 如图, RtABC中, (C = 90(, AB, BC, AC切⊙O于D, E, F。设BC = a, AC = b, 连接OD, OE, OF, 设内切圆半径为R, ∴OD(AB, OE(BC, OF(AC 根据面积的计算公式 又∵OE = OF = OD = R ∴(a + b + AB)·R = ab ∴ 解法二: ∵AB, BC, AC切⊙O于D, E, F 由切线长定理 ∴AD = AF, BD = BE, CE = CF 又∵OE = OF = R (FCE = 90( (OFC = (OEC = 90( ∴OECF为正方形, ∴EC = FC = R AB = BD + AD = BE + AF = a－R + b－R ∴ ∴ 说明: 直角三角