2-3无穷小和收敛准则案例.ppt

二、准则II及第二个重要极限 准则II 相应于单调数列必有极限的准则II，函数极限也有类似的准则。 设函数f(x)在x0的某个左领域内单调并且有界，则f(x)在x0的左极限f(x0-)必定存在。 对于自变量的不同变化过程（ x?x0+， x?-? ， x?+? ），也有类似的表达。 无穷小的比较 观察与比较 观察两个无穷小比值的极限 两个无穷小比值的极限的各种不同情况? 反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度? 在x?0的过程中? x2比3x趋于零的速度快些? 反过来3x比x2趋于零的速度慢些? 而sin x与x趋于零的速度相仿? 上页 下页 铃 结束 返回 首页 无穷小的阶 设a 及b 为同一个自变量的变化过程中的无穷小? 下页 阶的比较举例 所以当x?0时? 3x2是比x高阶的无穷小? 即3x2=o(x)(x?0)? 所以当x?3时? x2-9与x-3是同阶无穷小? 例2 例3 例1 下页 所以当x?0时? 1-cos x 是关于x 的二阶无穷小? 所以当x?0时? sin x 与x是等价无穷小? 即sin x~x(x?0)? 例4 例5 下页 阶的比较举例 定理1 b 与a是等价无穷小的充分必要条件为 b =a+o(a)? 下页 关于等价无穷小的定理 必要性: 证明 所以b –a=o(a)? 因为 设a~b? 只需证b –a=o(a)? 充分性: 设b=a+o(a)? 则 因此a~b? 所以当x?0时? 有 sin x=x+o(x)? tan x=x?o(x)? 例6 下页 定理1 b 与a是等价无穷小的充分必要条件为 b =a+o(a)? 关于等价无穷小的定理 下页 定理1 b 与a是等价无穷小的充分必要条件为 b =a+o(a)? 关于等价无穷小的定理 例 解: 下页 定理1 b 与a是等价无穷小的充分必要条件为 b =a+o(a)? 关于等价无穷小的定理 定理2 证明 求两个无穷小比值的极限时? 分子及分母都可用等价无穷小来代替? 因此? 如果用来代替的无穷小选取得适当? 则可使计算简化? 定理2的意义: 下页 定理1 b 与a是等价无穷小的充分必要条件为 b =a+o(a)? 关于等价无穷小的定理 定理2 解 当x?0时? tan 2x~2x? sin 5x~5x? 所以 解 当x?0时sin x~x? 无穷小x3+3x与它本身显然是等价的? 所以 例7 例8 结束 3 1 3 1 lim 3x lim 3 sin lim 2 0 3 0 3 0 = + = + = + ? ? ? x x x x x x x x x . 下页 常见的等价无穷小 下页 例16 下页 例17 下页 例18 * 上页 下页 铃 结束 返回 首页 一、无穷小 二、无穷大 §2.2.6 无穷小与无穷大 上页 下页 铃 结束 返回 首页 无穷小 如果函数α(x)当x?x0(或x??)时的极限为零? 那么称函数α(x)为当x?x0(或x??)时的无穷小? 无穷小的定义 下页 讨论? 很小很小的数是否是无穷小？0是否为无穷小？ 提示? 无穷小不是数。无穷小是这样的函数? 在x?x0(或x??)的过程中? 极限为零? 很小很小的数? 作为常数函数在自变量的任何变化过程中? 其极限就是这个常数本身? 如果函数α(x)当x?x0(或x??)时的极限为零? 那么称函数α(x)为当x?x0(或x??)时的无穷小? 无穷小的定义 下页 讨论? 无穷小是能在某个过程中不断变小的量 提示? 尽管一个变量在某个过程中能不断变小，但它的极限未必是零。 无穷小 如果函数α(x)当x?x0(或x??)时的极限为零? 那么称函数α(x)为当x?x0(或x??)时的无穷小? 无穷小的定义 下页 讨论? 1/x是无穷小。 提示? 无穷小描述的是变