《高等应用数学问题的MATLAB求解-第二版》math_chap07介绍.ppt

Slide 1 (of 11) 第7章微分方程问题的计算机求解 第7章 微分方程问题的计算机求解 常系数线性微分方程的解析解方法 微分方程问题的数值解法 微分方程转换 特殊微分方程的数值解 边值问题的计算机求解 偏微分方程求解入门 微分方程的框图求解 7.1 常系数线性微分方程的解析解方法 线性常系数微分方程解析解的数学描述 微分方程的解析解方法 Laplace变换在线性微分方程求解中的应用 线性状态空间方程的解析解 特殊非线性微分方程的解析解 7.1.1 线性常系数微分方程解析解的数学描述 常系数线性微分方程的一般描述方法为 其中， 均为常数 对零初值问题： 对应得出Laplace变换为 设代数方程的特征根si均相异，则解析解为 其中Ci为待定系数，并且g(t)是满足u(t)输入的一个特解 7.1.2 微分方程的解析解方法 简单形式，自变量设为t 指明自变量x 例 7.1 假设输入信号为 试求出下面微分方程的通解 假设有如下初值条件 假设 则可以获得方程的解析解 最终的近似结果为： 例 7.2 给定输入信号 ，求解 其中， 例 7.3 试求解线性微分方程组的解析解 直接求解 7.1.3 Laplace变换在线性微分方程求解中的应用 传递函数 那么，输出信号可以表示成如下的s-域函数 其中， 如果U(s) 是一个有理函数 例 7.4 给定输入信号u(t)=e-5tcos(2t+1)+5，假定所有的初始条件都为0，试求出下述微分方程的解析解 用Laplace变换法 在时域中输出信号的解析解： 使用dsolve()函数 绘制解曲线： 解析解相同 7.1.4 线性状态空间方程的解析解 假设线性状态空间模型的一般表示为 其中，A,B,C,D是常数矩阵，且已知状态向量初值 ，该方程的解析解是： 例 7.5 给定输入信号为u(t) = 2 + 2e-3t sin 2t，求出下面矩阵描述的状态空间方程的解析解 直接积分法求出结果 7.1.5 特殊非线性微分方程的解析解 只有少数非线性微分方程可以通过dsolve()函数得出解析解 通过例子演示非线性方程的解析解求解 同时还将演示不能求解的例子 例 7.6 求解非线性微分方程： 改变原微分方程的形式 例 7.7 试求出著名的Van der Pol方程的解析解 尝试如下的MATLAB命令 7.2 微分方程问题的数值解法 微分方程问题算法概述 四阶定步长Runge-Kutta算法及MATLAB实现 一阶微分方程组的数值解 微分方程数值解的验证 7.2.1 微分方程问题算法概述 一阶显式的微分方程组 标准形式 其中， 状态向量 非线性函数 7.2.1.1 微分方程求解的误差与步长问题 Euler算法： 设初始时刻系统状态向量的值为 微分方程左侧的导数近似为： 时刻微分方程的近似解为: 在 时刻系统状态向量的值为： 简记为 故可以假设在tk时刻系统的状态向量为xk在 时刻Euler算法的数值解为： h 被称为步长 不能无限制地减小h 的值的两条原因： 减慢计算速度 增加累积误差 在对微分方程求解过程中应采取的三个措施： 选择适当的步长 改进近似算法精度 采用变步长方法 7.2.2 四阶定步长Runge-Kutta算法及MATLAB实现 四阶定步长Runge-Kutta算法的数学描述： 其中h为计算步长 下一个步长的状态变量值为： MATLAB调用格式 函数中使用了循环结构 构造MATLAB函数 7.2.3 一阶微分方程组的数值解 四阶五级Runge-Kutta-Felhberg算法 基于MATLAB的微分方程求解函数 MATLAB下带有附加参数的微分方程求解 微分方程数值解的验证 7.2.3.1 四阶五级Runge-Kutta-Felhberg算法 Runge-Kutta-Felhberg算法 假设当前的步长为hk ，定义6 个ki变量： 下一步的状态向量 定义一个误差向量： 7.2.3.2 基于MATLAB的微分方程求解函数 求解常微分方程的MATLAB函数调用格式 描述需要求解的微分方程组： 修改控制变量: 微分方程的求解步骤 写出微分方程的数学形式 编辑方程的MATLAB代码 M-函数 匿名函数 Inline函数，不推荐使用 求解方程 将绘制结果 证明结果的正