3章_傅里叶变换案例.ppt

第3章 傅里叶变换 1.傅里叶级数定义及适用条件 2.常见周期信号的频谱,非周期性信号的频谱 3.傅里叶变换的定义及适用条件及性质 4.周期信号的傅里叶变换 5.抽样定理 6.功率频谱与能量频谱 7.系统频域分析法 8.希尔伯特变换 3.4 常见周期信号的频谱 ? 由大变小，Fn 第一过零点频率增大，即 所以 称为信号的带宽，? 确定了带宽。 ? 由大变小，频谱的幅度变小。 由于 T 不变，谱线间隔不变，即 不变。 ? 不变，Fn 的第一个过零点频率不变，即 带宽不变。 T 由小变大，谐波频率成分丰富，且频谱幅度变小。 T ? ? 时，谱线间隔 ? 0 ，这时： 周期信号 ? 非周期信号；离散频谱 ? 连续频谱 1. 周期矩形脉冲信号 1 周期矩形脉冲信号的傅里叶级数求解 （2）周期矩形脉冲信号的幅度、相位谱 2. 周期对称方波信号的傅里叶级数 如果用有限傅里叶级数代替无穷傅里叶级数表示信号，必然引进一个误差。如果完全逼近，则 n ∞ . 实际中，n N, N是有限整数。 如果 N愈接近 n ，则 其均方误差愈小 若用2N＋1项逼近，则 对称方波, 是偶函数且奇谐函数。所以其只有奇次谐波的余弦项。 对称方波有限项的傅里叶级数 （N 1、2、3时的逼近波形） （3）N 3: 有限项的N越大，误差越小例如: N 9 N越大，越接近方波 快变信号，高频分量，主要影响跳变沿； 慢变信号，低频分量，主要影响顶部； 任一分量的幅度或相位发生相对变化时，波形将会失真； 有吉伯斯现象发生。 3. 正、逆傅里叶变换 1. 单边指数信号的傅里叶变换 2. 双边指数信号的傅里叶变换 3. 线性（叠加性、均匀性） 相加信号频谱＝各个单独信号的频谱之和 由此可看出，此时F ω 是虚函数且是ω的奇函数。对于f t 为虚函数的情况，分析方法同上，结论相反。 上述讨论的结果如下: 频移特性与时移特性对称（这里ω0为实常量） 8. 微分特性 10 . 卷积定理 （1）时域卷积定理 设有两个时间函数f1 t 和f2 t ，它们分别对应的频谱函数为F1 ω 和F2 ω ： （2）关于非理想抽样 根据时域和频域对称性，可推出频域抽样定理 3.9 功率频谱与能量频谱 （1）周期信号的表示形式 在时域中,卷积积分的方法可求得系统的零状态响应。它是以冲激信号作为基本信号，将任意连续信号分解为无穷多个冲激函数的加权和，每个冲激函数对系统的响应叠加起来，就得到的零状态响应。 本节中,正弦信号或谐波信号作为基本信号，将信号分解为无穷多个正弦信号或虚指数的加权和。这些信号作用于系统时所得到的响应之叠加即为系统的零状态响应。 在时域中 频域系统函数 设激励 f t ej?t, 则系统零状态响应为 周期信号激励下的系统响应 正弦信号激励时的响应 设输入信号为正弦信号，即 补充 频域分析的方法的求解步骤为： 先求出输入信号的频谱F j? 和频域系统函数H j? 由于y t h t ?f t ，利用连续时间非周期信号的傅里叶变换的时域卷积性质，有 Y j? H j? F j? ， 求出输出信号的频谱 将Y j? 进行傅里叶反变换就得到 y t 输入信号的频谱为 令1/RC a，可得 用Matlab画出的输出信号的频谱如图所示。图中画出了带宽和的两种情况 RC电路输出的幅度频谱 RC电路输出的时域波形 由于RC电路的低通特性，高频分量有较大的衰减，故输出波形不能迅速变化。 输出波形不再是矩形脉冲信号，而是以指数规律逐渐上升和下降。 当带宽增加时，允许更多的高频分量通过，输出波形的上升与下降时间缩短，和输入信号波形相比，失真减小。 希尔伯特变换： 可实现系统的网络函数与希尔伯特变换 常用希尔伯特变换对 例 例 频域抽样定理 若信号 为时限信号，它集中在 的时间范围内，若在频域中，以不大于 的频率间隔对 的频谱 进行抽样，则抽样后的频谱 可以唯一地表示原信号。 3.8.2 频域抽样 频域有限 时域有限 时域无限 频域无限 但反之不一定成立 如：白噪声 时域取样与频域取样的对称性 f t 以 为周期重复 f t 以T为周期重复 偶函数 变量置换 频域取样后的时间函数 相乘 卷积 抽样定理小结 时域对 取样等效于频域对 重复时域取 样间隔不大于 。 频域对 抽样等效于时域对 重复频域 取样间隔不大于 。 满足取样定理，则不会产生混叠。 3.9.1 周期信号的功率谱 周期性信号的能量无穷大，功率有限，因此可从功率方面进行研究。 1 正交分解与信号功率 对周期信号f t 做正交分解，有： 则总功率为 式中 ，为正交信号分量的功