空气动力学-第5章精要.ppt

5.4、边界层动量积分方程 今在边界层内任取一控制体，控制体长度为dx，控制面为Aab、Abc、Acd、Ada。现对控制体应用动量方程，可知由Aab面流入控制体的质量流量为： 由Acd面流出控制体的质量流量为： 边界层动量积分关系式是由Karman 1921年导出的，对近似求解边界层特性具有重要作用。对层流和湍流边界层都适用。 τ0 1. 边界层动量积分方程 5.4、边界层动量积分方程 根据质量守恒定律，通过Abc流入控制体的质量流量为： 由Aab面流入控制体的动量流量为： 由Acd面流出控制体的动量流量为： 通过Abc流入控制体的动量流量在x方向的分量为： τ0 τ0 p 在Aab面上的作用力为（以下均指 x 方向分量）： 在Acd面上的作用力为： 在Abc面上的力为： 在Aad面上的切应力为： 5.4、边界层动量积分方程 5.4、边界层动量积分方程 对控制体建立x方向的动量方程为： 整理后，得： 由于上积分只是 x 的函数，右端可得： 上式右边第一项可写为： 左边第一项由伯努利方程可得： 将（2）、（3）代回（1）式得： 5.4、边界层动量积分方程 整理可得： 或： 或： 这就是边界层动量积分方程。是一阶常微分方程，既适用于层流也适用于湍流边界层。该方程含三个未知数 τ0、δ1和δ2 ，因此需寻找两个补充关系才能求解。 5.4、边界层动量积分方程 如果写成无量纲形式，有： 其中 对于零压强梯度的平板边界层流动，有： 从而： 因为动量积分方程是个常微分方程，求解边界层时相对简单，只要知道剪应力τ0 与δ1、δ2 之间（或与速度 u 分布之间）的相关关系，即可求解。 动量积分方程也可通过直接积分边界层微分方程获得 对于二维定常不可压缩流体边界层方程为（不计彻体力）： 用 ue 乘以连续方程（注意 ue=ue(x)）： 并利用连续方程把动量方程改写: 5.4、边界层动量积分方程 5.4、边界层动量积分方程 两式相减，得到： 积分上式，有： 0 整理后，得到： 这与Karman方程完全一样。 5.4、边界层动量积分方程 确定系数的条件为： 上述边界条件中除了璧面剪应力确定的条件适合于层流边界层之外，其余条件既适合与层流边界层也适合于湍流边界层。 如前所述，动量积分方程含有三个未知数：位移厚度δ*、动量厚度δ**和壁面切应力τ0 , 因此，必须寻求补充关系才能求解。 对于层流边界层而言由于三个未知量都取决于边界层的速度分布，因此只要给定速度分布，就可以求解。显然，该方法的精度取决于边界层内速度分布的合理性。对于层流边界层，通常假定速度分布为： 2. 利用动量积分关系式解边界层问题的保尔豪森方法 以平板层流边界层为例，假设速度型如下： 式中待定系数由下述边界条件确定。四个系数只需四个条件。 物面条件为： 边界层边界处的条件为： 由这四个条件，定得四个系数为： 5.4、边界层动量积分方程 于是，速度分布成为： 由牛顿粘性定律： 下面求解积分关系式。对于平板边界层，有 , 积分关系式为比较简单的形式： 5.4、边界层动量积分方程 将速度分布 代入动量厚度表达可得： 将上述关系代入动量积分关系式可得： 边界条件为：x = 0 时，δ=0 ，积分上式，得平板边界层的厚度 δ 沿板长的变化规律是： 这个结果与勃拉休斯数值解结果(常数为5.0)相差不大。 5.4、边界层动量积分方程 作用在宽度为 b（垂直于纸面的尺寸）、长度为 l 的单面平板上的摩擦力为： 将 及 代入上式积分得： 单面平板的摩阻系数为： 上述结果与勃拉休斯数值解结果(常数为1.328)相差也不大 5.4、边界层动量积分方程 对于层流有压力梯度情况，多了一个 的边界条件，由于假设压力梯度已知或外流速度已知，用上述同样的方法可以解得边界层的速度分布和剪应力等，可知结果都与压力梯度有关。 对于平板湍流边界层情况，由于无压强梯度，动量积分方程仍然是： 但对湍流而言τ0 不能直接用璧面附近的速度梯度表达，而δ2与u 和δ有关，因此有三个未知数，还需找两个补充关系，一个是速度分布关系，一个是湍流剪应力关系，根据实验结果： 代入δ2 的定义式和上述动量积分方程即可解得平板湍