对数及其对数运算解剖.ppt

引例2. 2014年沈阳市国民经济生产总值为a亿元,如果平均每年增长率为8.2%,问经过多少年后国民生产总值是2009年的2倍？ 解： a(1+8.2%)x=2a x=? 1.082x=2 上述问题，实质就是已知 和 的值，求 . 底数 幂 指数 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（Napier，1550年~1617年）。他发明了供天文计算作参考的对数，并于1614年在爱丁堡出版了《奇妙的对数定律说明书》，公布了他的发明。恩格斯把对数的发明与解析几何的创始，微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就。 对数的文化意义 恩格斯说，对数的发明与解析几何的创立、微积分的建立是17世纪数学史上的3大成就。 伽利略说，给我空间、时间及对数， 我可以创造一个宇宙。 布里格斯（常用对数表的发明者）说，对数 的发明，延长了天文学家的寿命。 对数的定义：一般地，如果a(a0,a≠1)的b次幂等于N, 就是ab=N 那么数 b叫做 a为底 N的对数， 记作 ，a叫做对数的底数，N叫做真数。 ②. ① .注意底数的限制， a0且 a ≠ 1; ③. 注意对数的书写格式． 说明 底数 幂 真数 指数 对数 指数式与对数式的互化: 将下列指数式写成对数式： 将下列对数式写成指数式： 求下列各式的值： ① .为什么对数的定义中要求底数a0且 a ≠ 1 ； ②.是否是所有的实数都有对数呢？ 思考： 求下列各式的值： 探索与发现： (1) log31= 0 (2) lg1= 0 0 (3) log0.51= 0 (4) ln1= 你发现了什么? “1”的对数等于零,即loga1=0 求下列各式的值： 探索与发现： (1) log33= 1 (2) lg10= 1 1 (3) log0.50.5= 1 (4) lne= 你发现了什么? 底数的对数等于“1”,即logaa=1 对数恒等式： 对数的基本性质 1.负数和零没有对数； 2.“1”的对数等于零,即loga1=0 3.底数的对数等于“1”,即logaa=1 4. 对数恒等式： 巩固练习 D 2、 对数式 中x的取值范围是______ ①.常用对数（common logarithm）：以10为底的对数log10N, ②. 自然对数（natural logarithm）：以无理数e=2.71828… 为底的对数的对数logeN ; 两个重要对数： 简记为: lgN . 简记为: lnN . (在科学技术中,常常使用以e为底的对数) 对数的运算性质 两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差 ⑴ ⑵ ⑶ 语言表达: 一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍 如果 a 0，a ? 1，M 0， N 0 有： 证明：①设 由对数的定义可以得： ∴MN= 即证得 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和 证明：②设 由对数的定义可以得： ∴ 即证得 两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数 证明：③设 由对数的定义可以得： 即证得 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数 1、如何使用科学计算器计算log215 2、计算lg15?lg2= ln15?ln2= 3、上述1、2的值相等吗? 3.9068906 3.9068906 设log215=x,则2x=15,两边取常用对数或两边取自然对数知相等。 问题提出 4.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求log23 解:设log23=x,则2x=3,两边取常用对数得: xlg2=lg3? x=lg3/lg2=0.4771?0.3010=1.5850 即：log23=1.5850为所求. 由上述计算你可得出什么结论？ 问题提出 对数的换底公式 证明：设 由对数的定义可以得： 即证得 这个公式叫做换底公式 其他重要公式1: 证明：设 由对数的定义可以得： ∴ 即证得 其他重要公式2: 证明:由换底公式 取以b为底的对数得： 还可以变形,得 解方程： （1）2 2x －1 = 8 x 解：原方程化为 2 2x －1 = 2 3x 2x －1 = 3x x = －1 ∴ 方程的解为 x = －1 （2）lg x －lg ( x －3