2.2迭代法的一般形式与收敛性定理描述.ppt

复习：矩阵的谱半径 2.2 迭代法的一般形式与收敛性定理 2.2.1 迭代法的一般形式 例1 设 其中 ， 2.2.3 迭代法的收敛速度 定理2.5 当 时，由迭代法式所定义的序列 满足如下估计式： * * 设λ是矩阵A相应于特征向量x的特征值，即 Ax＝λx 向量-矩阵范数的相容性，得到 |λ| || x || ||λx|| 从而，对A的任何特征值λ均成立 || Ax|| ≤ || A || ||x|| |λ|≤|| A || （3） 设n阶矩阵A的n个特征值为λ1,λ2，…λn，称 为矩阵A的谱半径。 已知线性代数方程组 首先将方程组改写成等价的形式 从而建立迭代式： 称 为迭代序列，并称H为迭代矩阵。 2.2.2 迭代法的收敛性 定义 利用迭代公式构造序列 , 以求 得方程组的近似解的算法称为解式的简单迭代法。 若迭代序列 收敛，则称此迭代法是收敛的。 两式相减，知误差向量 满足下列迭代关系： 由此递推： 是线性方程组Ax b的解 引理2.1：迭代法对任何初始近似 均收敛的充分必要条件是 引理2.2： 的充要条件是 定理2.4：迭代法对任何初始近似均收敛的充分必要条件是迭代矩阵H的谱半径 是线性方程组Ax b的解 引理2.1：迭代法对任何初始近似 均收敛的充分必要条件是 引理2.2： 的充要条件是 定理2.4：迭代法对任何初始近似均收敛的充分必要条件是迭代矩阵H的谱半径 推论：若 允许为任何一种相容的矩阵范数 ，则迭代法收敛。 讨论该迭代法的收敛性。 例2 设 其中 ， 讨论该迭代法的收敛性。 现在讨论使误差减少初始误差的 倍所需的最少迭代次数 若要求 则 两边取对数得: 定义: 为迭代法 2.2.3 的渐近收敛速度。 解线性方程组的迭代法 线性方程组 A x b 怎样设计迭代格式? H 并不是唯一的, 因此迭代格式也不是唯一的! Ax b x Hx+f x k+1 Hx k +f 等价变换 迭代矩阵 迭代法思想：第一步 第二步 H 与k无关，称为一阶定常迭代法 收敛？发散？ 判断收敛的方法： 计算中判断迭代终止条件的方法： *