2.2方向导数与梯度描述.ppt

华北科技学院基础部 * * 例10 一只蚂蚁不幸落在一块发烫的铁板上。 铁板上的温度场为： 蚂蚁落在点 M 1, 1 处, 此处温度高达76度。 蚂蚁差一点被烫死。 问蚂蚁应选择选择什么样的逃生路线？ 华北科技学院基础部 * * 解 蚂蚁选择温度最速降曲线来逃命 是梯度gradT 的反方向. 设蚂蚁的逃跑曲线为 则该曲线的切向量为： 华北科技学院基础部 * * 又 令 得 积分 华北科技学院基础部 * * 积分 得 将 x 1, y 1 代入上式：C 5 蚂蚁的逃跑曲线： 抛物线 华北科技学院基础部 * * 等温线 逃跑曲线 * * * 华北科技学院基础部 § 2.2 数量场的方向导数和梯度 《场论初步》 华北科技学院基础部 * * Directional Derivative and Gradient of Scalars Field 主要内容 1. 数量场的方向导数 2. 数量场的梯度 教材：第2章 第2节 华北科技学院基础部 * * 一、方向导数 Directional Derivative 数量场中，数量在空间的分布状况可用等值面（线）了解，但只是整体（宏观）上的了解．在实际应用中不仅需要宏观上了解场在空间的数值，还需要知道场在不同方向上的变化情况．应用方向导数可以描述数量场在空间某个方向上变化的情况． 华北科技学院基础部 * * 1.引例 一块长方形的金属板，受热 产生如图温度分布场. 设一只蚂蚁在板中逃生至某 问蚂蚁应沿什么方向爬行， 才能最快到达凉快的地点？ 处， 问题的实质： 应沿由热变冷变化最快的 方向爬行． 华北科技学院基础部 * * 需要计算场中各点沿不同方向的温度变化率， 从而确定出温度下降的最快方向 两个概念：方向导数和梯度 方向导数问题 梯度问题 华北科技学院基础部 * * 设 为数量场 中的一点， 为 从 出发的一条射线， 为 上的 邻近的一动点 记 如果当 时， 比式 的极限存在， 则称此极限为 在点 函数 处沿 方向的方向导数， 记作 即 2．定义 华北科技学院基础部 * * 方向导数物理意义： ，数量场 在 处沿 方向增加； ，数量场 在 处沿 方向减小； ，数量场 在 处沿 方向为等值面（无改变） 等价定义 方向导数表征数量场空间中，某点处场值沿特定方向变化的规律。 方向导数与选取的考察方向有关。 华北科技学院基础部 * * 直角坐标系中， 3.计算公式 设l 方向的方向余弦为 若函数 在点 可微， 则 两边除以 ，可得 华北科技学院基础部 * * 当 趋于零时对上式取极限，可得 实际应用：计算函数u M 在给定点处沿某个方向的变化率（定点且定向）． 华北科技学院基础部 * * 解： 华北科技学院基础部 * * 华北科技学院基础部 * * l 方向的方向余弦为 在点M 1, 1, 2 处， 解 例2 在点M处沿 l 方向的方向导数 华北科技学院基础部 * * 设 为有向曲线 上一点， 从点 出发沿 之正向取一动点 记弧长 当 沿 趋向 时， 比式 的极限存在， 则称此极限为函数 在点 处沿曲线 正向的方向导数， 记作 即 4.沿曲线的方向导数 华北科技学院基础部 * * 定理 如果在有向曲线 上取一定点 作为计算 的起点， 的正向作为弧长增加的方向， 为 上的一点， 在点 处沿 之正向 作与 相切的射线 则当 可微、 光滑时， 有 弧长 其中 为函数 对 之弧长 的全导数。 华北科技学院基础部 * * 则沿曲线C, 函数 因为函数 可微、 曲线 光滑， 由复合函数求导法则 由于 为 在 处的单位切向量， 且指向 增加的方向， 因此 为 的方向余弦 所以 证 选择 之弧长作为参数， 的参数方程为 则 华北科技学院基础部 * * 定理 设在点M处函数u可微， 曲线C光滑， 则 证 由于在点 处函数 可微， 曲线 光滑， 所以 在点 处全导数 存在， 且 而根据 的定义， 其实际上是一个右极限 所以 华北科技学院基础部 * * 函数u在点M处沿曲线C（正向）的方向导数与函数u在点M处沿C的切线方向（指向C的正向一侧）的方向导数相等。 结论 其中 为曲线C在 处正向切线. 设在点 处函数 可微， 曲线 光滑， 则 华北科技学院基础部 * * 例3 求函数 在点 处沿 曲线 朝 增大一方的方向导数。 解 点 对应参数 因此曲线在 切向量为 处 其方向余弦为 华北科技学院基础部 * * 例4 求函数 在点M（2,3）处沿曲线 朝x增大一方的方向导数。 解： 曲线方程向量形式为： 其导数： 就是曲线沿x增大方向的切向量. 其方向余弦： 华北科技学院基础部 * * 方向导数公式 令向量 这说明 方向：方向导数最大的方向 模 : 方向导数的