2.3连续型随机变量与随机变量的分布函数_概率论与数理统计,王松桂、程维虎等,科学出版社描述.ppt

用求导的方法可以证明， 为f x 的两个拐点的横坐标。 x μ ? σ 这是高等数学的内容，如果忘记了，课下再复习一下。 实例 年降雨量问题，我们用上海99年年降雨量的数据画出了频率直方图。 从直方图，我们可以初步看出，年降雨量近似服从正态分布。 下面是我们用某大学大学生的身高的数据画出的频率直方图。 红线是拟合的正态密度曲线 可见，某大学大学生的身高应服从正态分布。 人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人数大致相近，这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的特点。 除了我们在前面遇到过的年降雨量和身高外,在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布. III 、设X~ , X的分布函数是 IV 、标准正态分布 的正态分布称为标准正态分布. 其密度函数和分布函数常用 和 表示： 应用数理学院 第二章 第三节 连续型随机变量 连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间, 对这种类型的随机变量, 不能象离散型随机变量那样, 以指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率分布, 而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式. 下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法. 第二章 第三节 连续型随机变量 请看演示: 怎样画直方图 直方图与概率密度 （I）直方图 一 概率密度函数 ,使得对任意 , 有 对于随机变量 X ,如果存在非负可积函数f x , x 则称 X为连续型r.v.,称 f x 为 X 的概率密度函 数，简称为概率密度或密度. II 连续型r.v.及其概率密度函数的定义 III 概率密度函数的性质 1 o 2 o 这两条性质是判定一个 函数 f x 是否为某r.vX的 概率密度函数的充要条件. f x x o 面积为1 故 X的密度 f x 在 x 这一点的值，恰好是 X落在区间 上的概率与区间长度 之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量， f x 相当于线密度. 若x是 f x 的连续点，则： f x 3. 对 f x 的进一步理解: 要注意的是，密度函数 f x 在某点处a的高度，并不反映X取值的概率. 但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度. f x x o 若不计高阶无穷小，有： 它表示随机变量 X 取值于 的概率近似等于 . 在连续型r.v理论中所起的作用与 在离散型r.v理论中所起的 作用相类似. 4. 连续型r.v取任一指定值的概率为0. 即： a为任一指定值 这是因为 由此得， 1 对连续型 r.v X,有 2 由P X a 0 可推知 而 X a 并非不可能事件, 可见， 由P A 0, 不能推出 并非必然事件 由P B 1, 不能推出 B （二）、随机变量的分布函数 设X ? 是一个随机变量. 称函数 F x : P X≤x ,-∞ x ∞ 为随机变量X的分布函数. 　分布函数的性质 （1）?a b,总有F a ≤F b 单调非减性 （2）F x 是一个右连续的函数 （3） ?x?R1 ,总有0≤F x ≤1 有界性 ,且 定义 证明: 仅证 1 ∵ a X≤b X≤b ∩ X a X≤b - X≤a ,而 X≤a ? X≤b . ∴ P a X≤b P X≤b - P X≤a F b - F a . 又∵P a X≤b ≥0, ∴F a ≤F b . 上述证明中我们得到一个重要公式: P a X≤b F b - F a . 它表明随机变量落在区间 a,b]上的概 率可以通过它的分布函数来计算. 注意 设离散型随机变量X的分布律为 pk: P X xk , k 1,2,…, X的分布函数 离散型随机变量的分布函数 分布函数F x 是一个右连续的函数,在x xk k 1,2… 处有跳跃值 pk P X xk ,如下图 图2.2.1 所示 P29,例2.2.1 X 的分布函数 F x 0 x 0 0.04 0≤X 1 0.36 1≤X 2 1 2≤X 连续型 r.v.的分布函数 即分布函数是密度函数的可变上限的 定积分. 若 X 是连续型r.v.， X ～ f x , 则 F x P X x ～ 由上式可得，在 f x 的连续点， 下面我们来求一个连续型 r.v 的分布函数. 例 设r.v X 的密度函数为 f x 求 F x . F x P X x 解： 对x