2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角描述.ppt

复习引入 我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应的坐标来运算,那么怎样用 在直角坐标系中，已知两个非零向量a = （x1，y1）， b = （x2，y2）， 如何用a 与b的坐标表示a b Y A（x1,y1） a B(x2，y2) b O i j ∵a = x1 i + y1 j ，b = x2 i + y2 j X ① _____ ② ______ ③ ______ ④ _____ 单位向量i 、j 分别与x 轴、y 轴方向相同，求 1 1 0 0 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 在坐标平面xoy内，已知 ＝(x1，y1)， ＝ (x2，y2)，则 求 · 例 1:已知 ＝(1,√3 )， ＝(– 2,2√3 ), 解： · ＝1×(–2)＋√3×2√3＝4; 1、平面向量数量积的坐标表示 练习： 则 2、向量的模和两点间的距离公式 用于计算向量的模 即平面内两点间的距离公式． 求| |,| | 例 1:已知 ＝(1,√3 )， ＝(– 2,2√3 ), ＝√12＋(√3 )2＝2, ＝√(– 2)2＋(2√3 )2 ＝4, 3、两向量夹角公式的坐标运算 向量夹角公式的坐标式： 例 1:已知a＝(1，√3 )，b＝(– 2，2√3 ), 求a与b的夹角θ. cos ＝ ＝ ＝ , 4 2×4 a·b a b 1 2 θ ∴ ＝60o θ ＝(x1，y1)， ＝ (x2，y2)，则 垂直 4、两向量垂直的坐标表示 例 2：已知a＝(5, 0)，b＝(–3.2, 2.4), 求证：(a＋b)⊥b . 证明： ∵(a＋b)·b＝a·b＋b2 ＝5×(–3.2)＋0×2.4＋(–3.2)2＋2.42 ＝0 ∴ (a＋b)⊥b 与 垂直： ＝(x1，y1)， ＝ (x2，y2)，则 练习： 且 起点坐标为( 1, 2) 终点坐标为( x, 3x), 则 例3:已知A（1、2），B（2，3），C（-2，5）， 求证ΔABC是直角三角形 证明: ∵AB = （2 - 1，3 - 2）= （1，1） AC = （-2 - 1，5 - 2）= （-3，3） ∴AB AC = 1╳（-3）+ 1╳ 3 = 0 ∴AB⊥AC ∴ΔABC是直角三角形 注：两个向量的数量积是否为零是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。 A B C O 如证明四边形是矩形，三角形的高，菱形对角线垂直等. X Y 例4:已知 ,当k取何值时, 1). 与 垂直? 2). 与 平行? 平行时它们是同向还是反向? 5、两向量垂直、平行的坐标表示 ＝(x1，y1)， ＝ (x2，y2)，则  分析: 由已知启发我们先用坐标表示向量 然后用两个向量平行和垂直的充要条件来解答。 例4:已知 ,当k取何值时, 1). 与 垂直? 2). 与 平行? 平行时它们是同向还是反向? 解：1） 这两个向量垂直 解得k=19 2) 得 此时它们方向相反。 逆向及综合运用 例5 （1）已知 =（4，3），向量 是垂直于 的单位向量，求 . 提高练习 2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、D(5，8)，则四边形ABCD的形状是 . 矩形 3、已知 = (1，2)， = (-3，2)， 若k +2 与 2 - 4 平行，则k = . - 1 （1）掌握平面向量数量积的坐标表示，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和； （2）要学会运用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度及垂直问题. 小结： ＝(x1，y1)， ＝ (x2，y2)，则