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Ch1、§1、数值分析及其特点
1、数值分析及其主要内容
数值分析也称计算方法,主要研究用计算机求解数学问题的数值方法及理论,内容主要包括:
(1)数值逼近插值与拟合、多项式逼近等(Ch2~Ch);
(2)数值积分(Ch4);
(3)数值代数求解方程以及特征问题的数值方法(Ch6~Ch9);
()常微分方程的数值解法(Ch5)。
(1)首先要有可靠的理论分析,以确保算法在理论上的收敛性和数值稳定性;
(2)其次要对计算结果进行误差估计,以确定其是否满足精度;(3)还要考虑算法的运行效率,即算法的计算量与存储量。
,N=32K,1000倍。
例1、分析用Cramer法则解一个阶线性方程组的计算量。
解:计算机的计算量主要取决于乘除法的次数。
用Cramer法则解一个阶线性方程组需计算个阶行列式,而用定义计算阶行列式需次乘法,故总计共需。
此外,还需次除法。
当时,计算量约为次乘法。即使用每秒百亿次乘法的计算机,也需计算3000多年才能完成。
可见,Cramer法则仅仅是理论上的,不是面向计算机的。
§2、数值分析中的误差
1、误差的类型与来源
(1)模型误差;(2)观测误差;
(3)截断误差(方法误差) —模型的准确解与数值方法准确解之间的误差;
(4)舍入误差—实数形式的原始数据与的计算机数据之间的误差。
计算(误差小于0.01)。
解:
(截断误差) (舍入误差)。
2、误差的基本概念
(1)误差与误差限
设为某量的精确值,为的一个近似值,则称为的(绝对)误差,为的相对误差。
用某种方法确定的误差的某个上界称为的误差限,显然,即,称为的相对误差限。
误差限取决于测量工具和计算方法。
函数值的计算误差
,为的近似值,则
(多元函数一阶Taylor展式)
,。
§3、算法的数值稳定性与病态问题
1、算法的数值稳定性
例3、计算,并做误差分析。
解:。
算法1:,结果见下表。
又, 。
算法2:,结果见下表。
n 算法1 算法2 准确值 0
1
2
3
4
5
6 0.1823
0.0885
0.0575
0.0458
0.0208
0.0958
-0.3125 0.1823
0.0884
0.0580
0.0431
0.0344
0.0281
0.0262 0.1823
0.0884
0.0580
0.0431
0.0343
0.0285
0.0243 误差分析:
算法1:
,即在计算过程中误差放大了倍。
算法2:,
即误差缩小了倍。
定义1:若某算法受初始误差或计算过程中产生的舍入误差的影响较小,则称之是数值稳定的,反之称为不稳定算法。
2、病态问题
例4、将方程,即改为摄动方程,即,其中。
Wilkinson用精密方法计算出其根为:
。
令,其根为,则当
时,。显然反映了初始数据的微小摄动对的影响程度即问题的条件数。
因,故
1
4
6
8
10~19
20 (坏条件问题)
定义2:若初始数据的微小误差都会对最终的计算结果产生极大的影响,则称这种问题为病态问题(坏条件问题),反之称其为良态问题。
例5、分别将线性方程组
的右端向量和系数矩阵中数据做一个微小变化,具体数据如下:
然后用精确方法求解,发现其解与原方程解相比发生了很大的变化。
这表明此方程组为病态方程组。
§4、算法的实现与常用的数学软件
用计算机实现数值分析中的算法通常有两种途径:(1)用Fortran、C、VB、VC等自编程序;(2)借助于现成的数学工具软件。
目前常用的数学软件约30余个,可分为通用与专用两大类。
专用系统主要是为解决数学中某个分支的特殊问题而设计的。
SAS和SPSS(统计分析);
Lindo、Lingo和CPLEX(运筹与优化计算);
Cayley和GAP(群论研究);
PARI(数论研究);
Origin(科技绘图与数据分析);
DELiA(微分方程分析)等。
通用系统中又可分为数值计算型与解析计算型。
数值计算型:Matlab、Xmath、Gauss、MLAB和Origin等。
解析计算型:Maple、Mathematica、Macsyma、Axiom和Reduce等。
其中Matlab、Mathematica、Maple与另一个面向大众的普及型数学软件Mathcad并称数学软件中的“四大天王”。
Matlab意思为“矩阵实验室”,是美国计算机科学家Cleve Moler在70年代末开发出的以矩阵数值计算
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