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平面几何竞赛基础16托勒密定理及其逆定理
平面几何竞赛基础16 ── 托勒密定理及其逆定理
爱因斯坦曾说：如果平面几何不能激起一个人的好奇心，那么这个人在科学上的发展也不会很远诶．jylingbin@163.com邮箱，以便批阅反馈．．100名思维好且钻研能力强的竞赛选手．定理：圆内接四边形ABCD的两组对边乘积之和等于的两条对角线的乘积．
即：其逆命题也成立，称为逆定理；但应用逆定理解题是冷点，应重视它．（注：对于一般的四边形则是”，称为托勒密不等式）
证明：，交于）
二、重要例题
例1已知：P是等边ΔABC外接圆上的一点，求证：PA PB+PC证明：
例2设多边形是一个正七边形；求证：
证明：
如图，设，，为ΔABC的外心O到三边的距离，R，分别为ΔABC的外接圆和内切圆的半径；求证：+y+z R+r．（提示：注意选择四点共圆，运用定理）
证明：
jylingbin@163.com）
1．如图1，由圆O的弧AB的中点C引弦CD，CE分别与弦AB相交于点F，G；求证：DG?EF FD?GE+DE?FG
2．如图2，已知在ΔABC中，AB AC，∠A的一个外角的平分线交ΔABC的外接圆于点E，过E作EF⊥AB，垂足为F，求证：2AF AB-AC
3．如图3，在ΔABC中，AB AC，线段AB上有一点D，线段AC的延长线上有一点E，使得DE AC，线段DE与ΔABC的外接圆交于点T，P是线段AT的延长线上的一点；点P在ΔADE的外接圆上证：点P满足：PD+PE AT
智浪教育--普惠英才文库
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